Foto: Antonio Martínez García. (Nuremberg)
LI Olimpiada Matemática Española (Fase local; Comunidad de Madrid)
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El problema que sigue no es fácil; al menos no es tan fácil como los últimos que he propuesto. Pienso que puede recomendarse a alumnos a partir 4º de ESO, advirtiendo que no requiere conocimientos especiales; por ejemplo, aunque el problema pida un mínimo, no se trata de un problema de optimización que necesite del cálculo diferencial. Es más sencillo, pues solo se precisan los teoremas de Pitágoras y de Tales, pero, como siempre, combinados en la proporción adecuada.
Para su resolución es recomendable hacer varios dibujos, con el fin de hacerse una idea visual de cómo cambian las cosas dependiendo de la posición del punto P. Se verá que el resultado varía notablemente si el punto P se elije cerca del vértice A o en el centro del lado AB. Además, es posible que descubran algo sobre las medidas que pueden tomar x e y.
Problema
En el cuadrado ABCD de lado 1 se inscribe un cuadrado de lado PQ = y, como muestra la figura, y en uno de los triángulos rectángulos determinado por los dos cuadrados se inscribe otro cuadrado de lado x. Al moverse el punto P sobre el lado AB cambian los valores de x e y. Determina x e y para que x^2 + y^2 sea mínimo. ¿Cuánto vale ese mínimo?
