Geometría (332). Con regla y compás

Foto: Catalina Martínez García (Por tierras de Cuenca)

El problema que planteo es un clásico de regla y compás. En estos problemas es frecuente que “la idea” sea decisiva. Y más frecuente aún es que cuando esté resuelto parezca una obviedad. Algo de eso pasa aquí. Se trata de un problema sencillo cuando se ha resuelto.
Puede proponerse a los alumnos de bachillerato, aunque es asequible desde 2º de ESO, pues los conocimientos que se precisan son elementales para los seguidores de este blog.
Por cierto, hay dos soluciones.

Problema
Dado un punto A sobre el lado r de un ángulo, encontrar otro punto B en el mismo lado que equidiste de A y del otro lado s.

Solución.

Geometría (331). Áreas

Foto: Cristina Martínez García (Egipto)

El problema que sigue no es difícil, aunque puede resultar engorroso en los cálculos. Puede proponerse a los alumnos de 14 o 15 años en adelante.

Problema
En un cuadrado de lado 1 se han trazado arcos de circunferencia con centro en los vértices, tal como se indica en la figura. Calcula el área de cada una de las regiones sombreadas con diversos colores.

Solución.

Geometría (330). Ángulo

Foto: Carmen García Matas (Simat de Valldigna, Valencia)

El problema que sigue no es difícil, aunque no inmediato. Se propuso en la XXXIX Olimpiada Matemática Española.
Puede resultar interesante para los alumnos mayores de Secundaria.

Problema
Las alturas del triángulo ABC se cortan en el punto H. Se sabe que AB = CH. Determinar el valor del ángulo BCA.

Solución.

Geometría (329). Ángulos y área

Foto: Aitor Merinero (catedral de Cuenca)

El problema que sigue es muy sencillo. Hay que conocer cuánto suman los ángulos de un triángulo y el teorema de Pitágoras. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes de Secundaria.

Problema
En el cuadrilátero ABCD se cumple que AB = CD y CB = 8 cm. Además, se conocen los ángulos que se indican. ¿Cuánto valen los ángulos desconocidos? ¿Cuánto vale el área del cuadrilátero?

Solución.

Geometría (328). Área

Foto: Carmen Martínez García (Tenerife)

El problema que sigue se propuso en el Concurso de Primavera 2023. Pienso que es apropiado para estudiantes de Secundaria de cualquier nivel; hay que utilizar relaciones de semejanza de triángulos.

Problema
Se consideran dos cuadrados iguales. Construimos otro cuadrado de lado 6 como indica la figura. ¿Cuánto vale el área del triángulo coloreado?

Solución.

Geometría (327). Distancia

Foto: Miguel Quintero (El Cairo, iglesia copta)

El problema que sigue se propuso en el Concurso de Primavera 2023. Pienso que es apropiado para estudiantes de Secundaria de cualquier nivel, que conozcan el teorema de Pitágoras y alguna de las propiedades de las tangentes a una circunferencia.

Problema
¿Cuánto vale la distancia entre los centros de las circunferencias inscritas?

Solución.

Geometría (326). Lado y radio.

Foto: Siân Wiliams (Santorini)

El problema que sigue puede proponerse a estudiantes de Secundaria (3º de ESO en adelante). Se resuelve aplicando el teorema de Pitágoras.

Problema
Si el lado del cuadrado mayor vale 10 cm, ¿cuánto valdrá el lado del cuadrado inscrito? ¿Y el radio del círculo pequeño?

Solución.

Geometría (325). Ángulo.

Foto: Antonio Martínez García (Budapest).

El problema que sigue no es inmediato; se propuso en la Olimpiada Matemática Española de 1991.

Su resolución requiere conocer las propiedades del incentro (punto de corte de las bisectrices de un triángulo) y el concepto de arco capaz. También hay que descubrir triángulos iguales y aplicar que la suma de los ángulos de un triángulo vale 180º.

Puede proponerse a los alumnos y profesores de bachillerato con interés por la Geometría.

Problema
Sean A´, B´ y C´ los puntos de tangencia de los lados BC, CA y AB de un triángulo con su circunferencia inscrita. Sea D el punto de intersección de C´A´ con la bisectriz del vértice A. Calcular el valor del ángulo ADC.

Solución.