Geometría (27). Tales/Pitágoras

Foto: Adina Marín (Sevilla)

XVIII Concurso de Primavera (Madrid, 2014)

Te planteo un problema relativamente sencillo. Se requiere conocer los teoremas de Tales y de Pitágoras, aunque basta con uno de ellos; además debes saber algo de la tangente a una circunferencia.
Pienso que puede hacerse con un nivel de 2º de ESO.

Problema
Los lados  de un triángulo rectángulo miden  5, 12 y 13. Un semicírculo con centro en el cateto de longitud 12, es tangente al otro cateto y a la hipotenusa.  ¿Cuánto mide su radio?

Solución.

Geometría (26). La flecha y la lanza

Foto: Carmen García Matas (Río Ebro en Reinosa, Cantabria)

De la 13ª Olimpiada Matemática de Euskadi (2015) y XVIII Concurso de Primavera Madrid (2014)

Los dos problemas que siguen son fáciles: pueden hacerse con un nivel de 2º de ESO. Esto animará a los nuevos lectores de este Blog.
En el primer problema basta con descubrir triángulos isósceles y aplicar sus propiedades. El segundo es casi inmediato.

Problema 1
Con  un  hexágono y un pentágono regulares puestos convenientemente realizamos el diseño de una punta de lanza, tal como indica el dibujo. ¿Cuál es el ángulo de la punta de la lanza?

Problema 2
La punta de flecha de la figura tiene dos ángulos rectos. Calcula su área.

Soluciones.

Geometría (25). Longitud de una mediana

Foto: Carmen García Matas. (Orbaneja, Burgos)

De la XLIII Olimpiada matemática Española (2006)

El problema que sigue requiere conocimientos de 4º de ESO. En concreto, para dar la solución yo he necesitado aplicar el teorema del coseno. (Si no lo recuerdas puedes verlo pinchando aquí). Además,  como casi siempre, lo más difícil es ordenar las ideas, hacer un dibujo correcto y decidir el camino a seguir.
Nota. El dibujo que acompaña al enunciado no venía en el original. Hacerlo “bien” no resulta inmediato: intenta dibujarlo por tu cuenta, prescindiendo del que se da aquí. (Te puede venir bien usar un compás).

Problema
En el triángulo ABC, el lado AB mide 1 y el AC, 2. Si el otro lado, BC, y la mediana desde A son de igual longitud, ¿cuál es esa longitud?

Solución.

Geometría (24). Área de un triángulo

Foto: Catalina Martínez García (Nuremberg, Alemania)

De la XLIII Olimpiada Matemática Española (2006)

Aunque el problema que sigue no requiere conocimientos especiales, no me parece sencillo: debería recomendarse para estudiantes de 3º de ESO en adelante.
Para resolverlo hay que saber “ver” dos triángulos semejantes… y alguna cosa más. Por ello, lo normal será que no salga a la primera; pero no te desanimes, seguro que te sale a la segunda o a la tercera. Y, si no, siempre quedará la solución del final.

A modo de pistas te diré que debes saber:
1) Los criterios de semejanza de triángulos.
2) Trabajar con triángulo isósceles.
3) Pitágoras; la fórmula del área de un triángulo; y las demás cuestiones básicas de geometría.

Problema
En el triángulo ABC, el lado AC y la mediatriz del lado BC se cortan en el punto D, siendo BD la bisectriz del ángulo B. Si AD = 9 y DC = 7, ¿cuánto mide el área del triángulo ABD?

Solución.

Geometría (23). Dos problemas de áreas

Foto: Carmen García Matas (Orbaneja, Burgos)

De Canguro Matemático 2015

Los dos problemas que siguen piden el área de las regiones sombreadas en los dibujos. Pienso que son relativamente sencillos. Para resolverlos solamente hay que saber cómo se halla el área de un trapecio, de un triángulo y de un rectángulo; también hay que tener cierta capacidad para describir la región sombreada a partir de las demás.

Problema 1
Sea el trapecio ABCD de la figura. La longitud de la base mayor es el triple que la de la base menor. Los puntos M y N son los puntos medios de BC y CD, respectivamente. Si el área del trapecio es 32, ¿cuál es el área del triángulo AMN?

Problema 2
Si cada uno de los lados de los tres cuadrados de la figura tiene longitud 1, ¿cuál es el área de la región coloreada?

Soluciones.

Geometría (22). ¿Cómo es el triángulo?

Foto: Carmen Martínez García (Nueva York)

Vuelvo con un problema que presenta varias posibilidades de solución, dependiendo del método que se elija. Aquí, al final, se proponen dos soluciones; pero estoy seguro de que pueden encontrarse más. Busca la tuya y compárala con alguna de las mías.

Para resolver este problema hay que saber:
1) Las propiedades de los triángulos isósceles y equiláteros.
2) Cuándo dos triángulos son iguales.
3) Las cuestiones básicas de la suma de los ángulos de un triángulo, el teorema de Pitágoras…

Problema
Sobre la base DC del cuadrado ABCD se traza un triángulo isósceles cuyos ángulos iguales miden 15º. Si P es el tercer vértice del triángulo, ¿cómo es el triángulo ABP?

Solución.

Geometría (21). Ortocentro y circuncentro

Foto: Cristina Martínez García (Nueva York)

De la Fase Local de la XLIII Olimpiada Matemática Española

Para resolver este problema debes saber las siguientes cuestiones:
1) El ortocentro de un triángulo es el punto de corte de sus alturas.
2) El circuncentro de un triángulo es el punto de corte de sus mediatrices.
3) Dos figuras son semejantes cuando los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus correspondientes en la otra. Esto es, el cociente de las longitudes de ambos segmentos es igual a la constante de proporcionalidad

Problema
Demuestra que, en un triángulo, la distancia de un vértice cualquiera al ortocentro es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto a ese vértice.
(Por ejemplo, para la figura: la distancia de A a O = doble de la distancia de P al lado BC; siendo O el ortocentro y P el circuncentro).
Pista: ¿Puede el punto O ser el circuncentro de otro triángulo?

Solución.

Geometría (20). Perímetros

Foto: Antonio Martínez García (Puente romano sobre el río Canosa, Cantabria)

Los dos problemas que siguen han sido propuestos en la Olimpiada Matemática de Euskadi (años 2013 y 2015, respectivamente). Ambos piden calcular el perímetro de una figura. Son bastante sencillos: pienso que pueden hacerlos estudiantes de 1º de ESO. A los lectores de este Blog les podrá proporcionar unos minutos de entretenimiento formativo.

Problema 1. LOS TRES SEGMENTOS
Un triángulo grande ha sido dividido en cuatro triángulos y tres cuadriláteros, mediante tres segmentos (como se observa en la figura).
La suma de los perímetros de los cuadriláteros es 25 cm.
La suma de los perímetros de los cuatro triángulos es 20 cm.
El perímetro del triángulo grande es 19 cm.
¿Cuál es la suma de las longitudes de los tres segmentos?

Problema 2. TRIÁNGULOS Y HEXÁGONOS
Dos triángulos equiláteros de perímetro 18 cm se sobreponen de modo que sus lados queden paralelos, como se ve en la figura. ¿Cuál es el perímetro del hexágono sombreado?

Soluciones.