El problema que sigue requiere cierto ingenio. Puede proponerse a estudiante de Bachillerato.
Problema:
Dibujar un triángulo del que se conocen los puntos de intersección de las prolongaciones de la bisectriz (B), la mediana (M) y la altura (A) que parten de un mismo vértice, con la circunferencia circunscrita al triángulo.
Foto: José María Martínez García (Zorita de los Canes, Guadalajara).
El problema que sigue requiere cierto ingenio. Puede proponerse a estudiante de Bachillerato.
Problema:
Se consideran una recta AB y dos puntos C y D no pertenecientes a esa recta. Hallar, con regla y compás, el punto P de la recta de modo que el ángulo CPA sea doble que el ángulo DPB.
Foto: Carmen García Matas (Ruinas del convento de La Salceda, Tendilla, Guadalajara)
El problema que sigue puede resolverse aplicando relaciones de semejanza. Es apropiado para estudiantes de Secundaria.
Problema:
Cortar un trapecio con una recta paralela a la base, de modo que el segmento de esta recta dentro del trapecio se divida por las diagonales en tres partes iguales.
Foto: Antonio Martínez García (Por tierras de Cuenca, España)
El problema que sigue que puede plantearse a los alumnos de 3º de ESO y más, indicándoles alguna pista para su resolución. (En la solución se da esa pista).
Problema
Inscribir en el triángulo ABC un cuadrado como el de la figura: dos vértices están en el lado AB; los otros dos, uno en BC, el otro en CA.
Foto: Cristina Martínez García.
Problema propuesto en la LX Olimpiada Matemática Española:
https://www.rsme.es/wp-content/uploads/2025/01/Problemas-2023_2024.pdf
No es sencillo. Puede proponerse a los alumnos de Bachillerato.
Problema
Sea ABC un triángulo acutángulo y D el punto de AB que es pie de la altura desde C. Sea P un punto arbitrario en el lado BC. Las rectas AP y CD se cortan en el punto E, y las rectas BE y AC se cortan en el punto Q. Probar que CD es la bisectriz del ángulo PDQ.
Foto: Carmen García Matas
Este problema puede plantearse a estudiantes de 3º de ESO (15 años). Afianza la representación de números en la recta real y recuerda los teoremas de Pitágoras y de Tales.
Problema
Construir con regla y compás el pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.
(Téngase en cuenta el valor de OA, calculado en el post anterior y que se indica en el dibujo).
Foto: José María Martínez García (Ogwen valley, Gales)
Este problema puede ser indicado para alumnos de 4º de ESO y de bachillerato, que conozcan el uso de las razones trigonométricas y que operen con soltura las expresiones con radicales.
Problema
El pentágono regular dado está inscrito en una circunferencia de radio 1. Demuestra que las medidas de BC y OA son las que indican en el dibujo. Halla también el valor de su diagonal.
Pista. La diagonal del pentágono regular de lado 1 es el número áureo.
