Geometría (346). Inscribir cuadrado en triángulo

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Geometría (346). Inscribir cuadrado en triángulo

Foto: Antonio Martínez García (Por tierras de Cuenca, España)

El problema que sigue que puede plantearse a los alumnos de 3º de ESO y más, indicándoles alguna pista para su resolución. (En la solución se da esa pista).

Problema
Inscribir en el triángulo ABC un cuadrado como el de la figura: dos vértices están en el lado AB; los otros dos, uno en BC, el otro en CA.

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Geometría (345). Bisectriz

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Geometría (345). Bisectriz

Foto: Cristina Martínez García.

Problema propuesto en la LX Olimpiada Matemática Española:
https://www.rsme.es/wp-content/uploads/2025/01/Problemas-2023_2024.pdf
No es sencillo. Puede proponerse a los alumnos de Bachillerato.

Problema
Sea ABC un triángulo acutángulo y D el punto de AB que es pie de la altura desde C. Sea P un punto arbitrario en el lado BC. Las rectas AP y CD se cortan en el punto E, y las rectas BE y AC se cortan en el punto Q. Probar que CD es la bisectriz del ángulo PDQ.

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Geometría (344). Con regla y compás

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Geometría (344). Con regla y compás

Foto: Carmen García Matas

Este problema puede plantearse a estudiantes de 3º de ESO (15 años). Afianza la representación de números en la recta real y recuerda los teoremas de Pitágoras y de Tales.

Problema
Construir con regla y compás el pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.
(Téngase en cuenta el valor de OA, calculado en el post anterior y que se indica en el dibujo).

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Geometría (343). Pentágono

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Geometría (343). Pentágono

Foto: José María Martínez García (Ogwen valley, Gales)

Este problema puede ser indicado para alumnos de 4º de ESO y de bachillerato, que conozcan el uso de las razones trigonométricas y que operen con soltura las expresiones con radicales.

Problema
El pentágono regular dado está inscrito en una circunferencia de radio 1. Demuestra que las medidas de BC y OA son las que indican en el dibujo. Halla también el valor de su diagonal.
Pista. La diagonal del pentágono regular de lado 1 es el número áureo.

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Geometría (341). Triángulo

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Geometría (341). Triángulo

Foto: Carmen Martínez García (Tenerife)

Este problema se puede solucionar con una regla y un transportador; y, naturalmente, aplicando GeoGebra. (No puede considerarse propiamente como un problema de regla y compás, aunque ambos instrumentos se empleen).  

Problema
Construir un triángulo, ABC, del que se conocen los ángulos A y B y la longitud de la bisectriz de C.
(Puede tomarse: A = 65º, B = 45º y bC = 10).

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Geometría (340). Con regla y compás

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Geometría (340). Con regla y compás

Foto: Aitor Merinero (Mallos de Riglos, Huesca)

Problema
Construir con regla y compás un triángulo ABC del que se conocen el lado a y las alturas desde los vértices B y C.
(Puede tomarse: a = 10; la altura desde B, hb= 7; la altura desde C, hc= 9).

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Geometría (339). Trapecio

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Geometría (339). Trapecio

Foto: Alejandro Gresa Lliso (Segovia)

Problema propuesto en el XXXV Concurso “Puig Adam”, nivel I (3º de ESO).

Problema
En un semicírculo de radio 2 dibujamos dos semicircunferencias de de radio 1 con centros en A y B y una circunferencia con centro C y tangente a las tres semicircunferencias. Los puntos E y F son los de tangencia de la circunferencia con las dos semicircunferencias pequeñas. Calcula el área del trapecio ABFE.

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