Geometría (130). Cuadrilátero

Foto: Carmen García Matas

Del XXIII Concurso “Puig Adam” de Resolución de Problemas. Segundo Nivel, Problema 4.

Como ya he indicado tantas veces, los problemas de Geometría no suelen salir directamente aplicando un método conocido y que simplemente se trata de repetir con pequeñas variaciones. (Cualquier profesor de Matemáticas hace “sin pensar” la mayoría de los problemas de álgebra, de cálculo diferencial, o de estadística). No sucede así con los problemas “sencillos” de Geometría básica que se plantean aquí. En mi caso, muchos de los problemas que he ido planteando y resolviendo en este Blog me han dado más de un quebradero de cabeza. Frecuentemente no salen al primer intento; pero cuando salen se ven tan fáciles que te dices a ti mismo: pero cómo no se ha ocurrido antes. Esto es lo que ha vuelto a suceder en este caso.

Problema
Si el cuadrado tiene lado 2, calcula el área sombreada sabiendo que los extremos de los segmentos que llegan a cada lado son vértices del cuadrado o puntos medios de sus lados.

Solución.

Geometría (129). Ángulos iguales

Foto: Cristina Martínez García (Plaza Mayor de Madrid)

El problema que sigue es de los llamados “de regla y compás”. Solo hay que tener en cuenta las relaciones angulares que se obtienen al cortar una recta a dos paralelas. Pero, como es habitual en estos problemas, lo difícil es el primer paso.
Puede proponerse a los estudiantes de 14 o 15 años.

Problema
Dado un rectángulo ABCD, con el lado AB menor que AD, halla un punto E sobre el lado AD desde el cual se vean los lados AB y BC bajo el mismo ángulo.

Solución.

Geometría (128). Triángulos

Foto: Antonio Martínez García (Acueducto de Segovia)

Del XXIII Concurso “Puig Adam” de Resolución de Problemas. Segundo Nivel, Problema 2.

Aunque no es un problema difícil requiere cierta pericia para ver las relaciones que pueden establecerse entre las distintas figuras. 
Para resolverlo hay que manejar el teorema de Tales.
Puede proponerse a los alumnos de 3º y 4º de ESO.

Problema
El triángulo ABC de la figura tiene área 10. Los puntos D, E y F, distintos de los vértices A, B y C, están en los lados AB, BC y CA, respectivamente, siendo AD = 2 y DB = 3. Si el triángulo ABE y el cuadrilátero DBEF tienen la misma área, ¿cuánto vale esa área?

Solución.

Geometría (127). Triángulo "circunscrito"

Foto: Carmen Martínez García (Pirineos)

Para resolver el problema siguiente hay que aplicar:
1) La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente en el punto de tangencia.
2) El teorema de Pitágoras.
3) El teorema de Tales.

Problema
El triángulo ABC “circunscribe” a dos circunferencias de radios 10 y 6 cm, como se muestra en la figura. Halla su área y su perímetro.

Solución.

Geometría (126). Triángulo con medianas

Foto: Caty Martínez García (Pirineos)

Para resolver el problema siguiente hay que conocer las propiedades relacionadas con las medianas de un triángulo:
1) Las tres medianas se cortan en un punto.
2) Ese punto de corte está a doble distancia del vértice que del punto de corte de cada mediana con el lado opuesto.
Estos resultados se demostraron en el post “Geometría (13)” de este blog.
También hay que utilizar relaciones de semejanza.

Por último, como ya se ha dicho muchas veces, debe advertirse que aunque la solución es fácil de entender no es sencilla de encontrar: hay que tener una idea más o menos brillante.

Problema
¿Qué relación existe entre el área del triángulo ABC y el área del triángulo cuyos lados son las medianas del triángulo ABC?

Solución.

Navidad 2017

Foto: Adrián Santos (Daganzo de Arriba, Madrid)

Así como en tantos sitios la Navidad se ha hecho geometría (con tiras, cuadrados y cajas, con círculos y esferas, parpadeando luces de todos los colores), aquí la Geometría quiere hacerse Navidad. Para ello he elegido dos poemas de Carmelo Guillén Acosta; no sé si pensados para Navidad, pero en Navidad pueden pensarse

Carmelo Guillén Acosta es catedrático de Lengua Castellana y Literatura de Enseñanza Secundaria desde el año 1979… http://www.poetasandaluces.com/profile/206/

EN NOCHE YA CERRADA

En noche ya cerrada, sin llave que la abra,
eres toda silueta y lo sé porque amo.

No necesito más. Sé que aquí hay vida.
La escucho porque llega con el día que quiero.
Y sé que hay cigüeñas. Las oigo crotorar.
Y muros que no ceden; son el lugar del alma.
Y cuestas, y campanas que evocan, cuando paso,
un tiempo que ha quedado impreso en la memoria.

No necesito más. Ni el sueño en el que sueño.
Ni siquiera me importa la emoción del instante.
Ni escuchar otras voces. Me basta la interior.
Ni que dejes de ser. Eres donde yo soy,
tan conforme a mi imagen que, cuando voy a ti,
me invade la certeza de que tú eres quien viene.

En noche ya cerrada, tu inmaterialidad
es luz, espacio anímico. ¿Para qué la mirada? 
Te he conformado en mí. Tú me has hecho a tu modo.
De igual a igual, todo lo demás sobra.

MISTERIO GOZOSO (2)

Mas qué le podré llevar
a ese Niño soberano
que, por ser Dios, tiene a mano
todo lo que quiere y más.

¡No me voy a presentar
sin nada en ninguna mano,
como un simple publicano
en el Portal!

Aunque si voy de mendigo,
sin ni siquiera un abrigo,
seguro que me dará
el cariño que me pide
para que nunca me olvide
de darle lo que me da.

FELIZ NAVIDAD

Geometría (125). Punto interior

Foto: Antonio Martínez García (Montejo de la Vega; Segovia)

El problema que sigue, como tantas veces hemos expresado en este Blog, es sencillo cuando se ha resuelto. Pero antes hay que resolverlo. Se puede hacer dibujando, trazando paralelas … Después hay que saber establecer las relaciones métricas adecuadas.

Problema
Desde un punto P interior a un triángulo equilátero ABC se trazan las perpendiculares PD, FE y PF a los lados BC, CA y AB, respetivamente. ¿Cuánto vale la razón (PD + PE + PF)/(BD + CE + AF)?

Solución.

Geometría (124). Secantes

Foto: Adrián Santos (Martín pescador)

El problema que sigue, aunque es relativamente sencillo, puede resultar extraño a los estudiantes de secundaria. Si se dice que está relacionado con la “potencia de un punto a una circunferencia” es posible que a algunos se les despierte el entendimiento.
Dando la pista de que está relacionado con la semejanza de triángulos podría proponerse a los alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
Dos cuerdas, AB y AC, de una circunferencia se cortan en un punto P, interior a ella. Demuéstrese que los productos AP · PB y CP · PD valen lo mismo. (Demostrar también que las medidas de esos cuatro segmentos no pueden venir dadas por cuatro números consecutivos).

Solución.