Geometría (35). Más de Tales

Foto: Cristina Martínez García (Santillana del Mar, Cantabria)

(Del XIX Concurso de Primavera de Matemáticas)

El problema que se plantea a continuación puede hacerse aplicando el teorema de Tales, pero aplicándolo varias veces. También hay que saber lo que es la mediana y cómo se calcula el área de un triángulo.
Supongo que a los lectores de este blog les resultará relativamente sencillo, pero, como casi siempre, nada es sencillo hasta que no se termina de resolver.
Puede plantearse a alumnos interesados de 2º de ESO; también en Ampliación de Matemáticas de 3º de ESO.      

Problema
En el triángulo ABC, de área 48, P es el punto medio de la mediana AM y N el punto medio del lado AB. ¿Cuál es el área del triángulo MDP?

Solución.

Geometría (34). Cuadrados

Foto: Carmen Martínez García (Praga)

LI Olimpiada Matemática española (Comunidad de Madrid, Fase cero).

El problema que se plantea a continuación es relativamente sencillo. Se puede hacer a partir de 1º de ESO (siempre que se tenga interés). Para resolverlo basta con relacionar de manera conveniente las longitudes de los lados de cuadrados y rectángulos.

Problema
En el interior del cuadrado ABCD de área 196 hay dos cuadrados que se solapan como muesta la figura. Si el área del mayor de los dos es el cuádruple de la del menor y el área de la región común a ambos es 1, ¿cuál es el área de la región sombreada?

Solución.

Geometría (33). Rotando

Foto: Antonio Martínez García

XIX Concurso de Primavera de Matemáticas

El problema que se plantea a continuación no es sencillo. Es el típico problema que puede calificarse como de idea feliz: se nos debe ocurrir algo (no inmediato) que a posteriori, una vez visto, resulta bastante fácil. 
Los conocimientos matemáticos que se necesitan para su resolución son bastante elementales: igualdad de triángulos; propiedad de la altura de un triángulo; ángulos entre paralelas… Su única dificultad puede ser el peligro de desconexión: que el alumno (o el profesor) que se enfrente a él piense que es muy complicado y/o que no merece la pena perder el tiempo. A primera vista puede que sea así, pero una vez resuelto la satisfacción que proporciona supera a la posible desgana inicial. Por tanto, ánimo.

Problema
Sean r y s dos rectas paralelas, y A un punto fijo a igual distancia de ambas rectas. Para cada punto B de la recta r, sea C el punto de la recta s tal que el ángulo BCA = 90º, y sea P el pie de la perpendicular desde A sobre la recta BC. Demuestra que, independientemente de qué punto B de la recta tomemos, el punto P está sobre una circunferencia fija.
Observación: Aunque el enunciado no presenta ningún dibujo, el siguiente ayuda a entender el problema.

Solución.

Geometría (32). Dibujando

Foto: Carmen García Matas (Reinosa, Cantabria)

Del XVIII Concurso de Primavera (Madrid 2014)

El problema que se plantea en este post es relativamente sencillo. Es similar al que se propuso en el post anterior; aunque en este caso, en vez de partir hay que repetir. Y después, observar.

Problema
En el rectángulo de la figura, uniendo vértices con puntos medios de los lados hemos definido un romboide en el centro. Si el área del rectángulo es de 60 cm2, ¿cuánto valdrá la del romboide?

Solución.

Geometría (31). Redibujando

Foto: Catalina Martínez García (Roma)

Del XIX Concurso de Primavera (Madrid 2015)

El problema que se plantea en este post es “muy sencillo”; o quizá no tanto. De hecho se planteó a los alumnos de 5º y 6º de Primaria; y también, con otro texto, a los de 1º y 2º de ESO.
Se puede hacer partiendo (redibujando) la figura dada en otras más pequeñas, todas ellas de la misma forma. De hecho, la figura que se adjunta en el problema parece sugerir algún tipo de partición, ¿pero es tan evidente como para proponerlo a niños de 5º y 6º de Primaria?
Yo he hecho la prueba con alumnos de 3º de ESO y el resultado ha sido negativo. No obstante, una vez resuelto, todos lo han entendido, y la gran mayoría ha dicho que era sencillo, pero…
Y así ha sido, pues después de dar la solución del que se propuso a los alumnos de Primaria han sido capaces de resolver el propuesto en el primer ciclo de ESO.

Los problemas planteados fueron:

Problema propuesto a los alumnos de 5º y 6º de Primaria
El hexágono regular inscrito en la estrella tiene un área de 24 cm2. El área, en cm2, de la estrella es:
                         A) 27             B) 30               C) 32               D) 36                E) 40

Problema propuesto a los alumnos de 1º y 2º de ESO
En la figura vemos una estrella de seis puntas con un área de 720 mm2. ¿Cuál es el área, en mm2, de la punta de flecha sombreada?
                             A) 30              B) 32             C) 36                 D) 40              E) 48

Solución.

Geometría (30). Cociente de áreas

Foto: Eva Alonso Botija (París)

LI Olimpiada Matemática Española (Fase Local)

El problema que se plantea a continuación no es sencillo. Tampoco es difícil, pero hay que realizar un par de procesos que no son inmediatos.
Inicialmente hay que tener una “idea”; a continuación hay que descubrir triángulos semejantes; y, por último, hacer algunos cálculos…
Para resolverlo necesitas saber:
1) Los teoremas de Pitágoras y de Tales, y aplicarlos a la situación.
2) Manejar relaciones de proporcionalidad.
3) Operar con radicales.

Problema
Sobre los lados de un triángulo rectángulo, de catetos uno doble que el otro, dibujamos cuadrados hacia fuera, como se muestra en la figura. El polígono obtenido lo inscribimos en un rectángulo como puede observarse en la citada figura. ¿Cuál es el cociente entre el área del polígono sombreado y el área del rectángulo en el que está inscrito?

Solución.

Geometría (29). Más de Tales y Pitágoras

Foto: Catalina Martínez García (Roma)

LI Olimpiada Matemática española (Comunidad de Madrid, Fase cero).

Los dos problemas que se proponen a continuación son relativamente sencillos. Pienso que pueden hacerse con un nivel de 2º de ESO, pues basta con conocer:
1)   Algo de triángulos isósceles.
2)   El teorema de Pitágoras y el de Tales.
3)   Fórmulas de áreas de triángulos y rectángulos.

Problema 1
¿Cuál es la longitud del lado AB del triángulo ABC sabiendo que AC = 3, AD = 3, BD = 8 y CD = 1?

Problema 2
En un rectángulo ABCD, con AB = 6 y AD = 30, sea G el punto medio de AD. Prolongamos desde B el lado AB hasta el punto E, con BE = 2, y sea F el punto de intereseccción de ED con BC. ¿Cuál es el área del cuadrilátero BFDG?
Observación: Debes construir la figura apropiada al texto. Después podrás resolverlo.

Soluciones.

Geometría (28). Semejanzas

Foto: Adina Marín (Madrid, catedral)

XVIII Concurso de Primavera (Madrid, 2014)

Te planteo dos problemas relativamente sencillos. Su solución se obtiene teniendo en cuenta los criterios de semejanza de triángulos.
Te los recuerdo.
·       Primer criterio: Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos iguales.
·       Segundo criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.
·       Tercer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen los lados correspondientes proporcionales.
(Cuando la razón de semejanza es 1, los triángulos son iguales).

Naturalmente, en los problemas que siguen, los triángulos semejantes (o iguales) no se ven a simple vista. Tendrás que buscarlos; ahí está la dificultad.

Problema 1
Sea ABCD un trapecio isósceles y X el punto medio del lado AD. Si AX = 1 y el triángulo XBC es rectángulo en X, ¿cuánto mide el perímetro del trapecio?

Problema 2
En un cuadrado ABCD, E y F son puntos medios de los lados AB y AD, respectivamente. Se toma un punto G de CF de tal modo que 3CG = 2GF. Si el lado del cuadrado es 2, ¿cuánto vale el área del triángulo BEG?

Soluciones.