Geometría (162). Estrella

Foto: Inés Ca. Entrada a un Belén

Del XIV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid (22 de noviembre de 2014, Bachillerato):
https://www.ucm.es//data/cont/media/www/pag-81200/problemas_intercentros_2014.pdf

 El problema que sigue, que podría calificarse como navideño, (eso sugiere también la foto de Inés Ca) es muy sencillo. Puede proponerse a los alumnos de cualquier nivel de Secundaria. Para resolverlo basta con conocer cómo se calcula el área de las figuras elementales: cuadrado y triángulo.

Problema
La figura adjunta muestra una estrella simétrica de cuatro puntas. Las cuatro puntas de la estrella son los vértices de un cuadrado de 24 cm de lado y los otros cuatro vértices de la estrella están en una circunferencia. Si el área de la estrella (sombreada) es un tercio del área del cuadrado, calcula el radio de la circunferencia.

Solución.

Geometría (161).Área 4

Foto: Carmen Martínez García (Marín, España)

Del XIV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid (22 de noviembre de 2014, Bachillerato):
https://www.ucm.es//data/cont/media/www/pag-81200/problemas_intercentros_2014.pdf

El problema que sigue es sencillo. Para resolverlo hay que utilizar la propiedad de la tangente a una circunferencia, combinada con la propiedad del incentro de un triángulo; y, como tantas veces, acudir al teorema de Pitágoras.
Puede proponerse a los alumnos del segundo ciclo de secundaria.

Problema
La circunferencia inscrita a un triángulo rectángulo toca a la hipotenusa en un punto P. Este punto divide a la hipotenusa en dos segmentos de longitudes a y b. Calcula, en términos de a y b, el área de dicho triángulo.

Solución.

Geometría (160). Ángulo

Foto: José María Martínez García, Las Rocosas, USA

Del XIV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid (22 de noviembre de 2014, 3º y 4º ESO):
https://www.ucm.es//data/cont/media/www/pag-81200/problemas_intercentros_2014.pdf

El problema que sigue es sencillo. Para resolverlo hay que utilizar la propiedad de la tangente a una circunferencia y descubrir (dibujar) ángulos y triángulos iguales.
Puede proponerse a los alumnos de cualquier nivel de secundaria.

Problema
En la figura se observa un triángulo ABC y una circunferencia de centro O tangente al lado BC y a las prolongaciones de los lados AB y AC de dicho triángulo. Si el ángulo BAC es de 22º, calcula la medida del ángulo x = BOC.

Solución.

Geometría (159). Área 3

Foto: Antonio Martínez García, alcazar de Segovia.

El problema que sigue puede resolverse con relativa facilidad de dos maneras:
1) Aplicando trigonometría;
2) Aplicando solo los teorema de Pitágoras y de Tales.
En el post anterior se resolvió de la segunda manera, aplicando Pitágoras y Tales. En este voy a resolverlo aplicando trigonometría, en concreto la expresión de la tangente del ángulo mita, con el fin de evitar números decimales, que podrían dar lugar a una solución no exacta. (Hacerlo así requiere manejar con soltura las expresiones radicales; por tanto, también puede utilizarse como ejercicio práctico de operaciones con radicales, aunque limite el público al que pueda ser propuesto el problema).

Problema
El octógono regular de la figura tiene lado 1 cm. Halla, aplicando razones trigonométricas, el área de la estrella sombreada.

Solución.

Geometría (158). Área 2

Foto: Catalina Martínez García.

El problema que sigue puede resolverse con relativa facilidad de dos maneras:
1) Aplicando trigonometría;
2) Aplicando solo los teorema de Pitágoras y de Tales.

En este post voy a resolverlo de la segunda manera; así lo recomiendo al lector. Este método es menos directo, pero tiene la ventaja de al hacerlo así exige algo más de imaginación y se puede proponer a los estudiantes más jóvenes, digamos de 3º de ESO en adelante.
En el próximo post lo resolveré aplicando trigonometría.

Problema
El octógono regular de la figura tiene lado 1 cm. Halla el área de la estrella sombreada.

Solución.

Geometría (157). Área

Foto: Carmen García Matas (Puente de Arganda, Madrid))

El problema que sigue se ha propuesto en Primera fase del concurso de Primavera de Matemáticas https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/UAPfo8ki977VBVmP/problemas-2018-fase1-nivel4.pdf

Es un problema del Nivel IV (Bachillerato), pero es relativamente sencillo. Solo hay que conocer algunas propiedades elementales de ángulos en polígonos regulares y algo más. Puede proponerse a los alumnos de 3º de ESO en adelante.

 Problema
El cuadrado de la figura tiene 2 decímetros cuadrados de área. ¿Cuál es el área del dodecágono regular?

Solución.

Geometría (156). Alfa 4

Foto: Caty Martínez García, (Segovia, España)

El problema que sigue se propuso en la LI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA (Comunidad de Madrid). FASE CERO: jueves 20 de noviembre de 2014.
https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-81215/LI_OME_Madrid_1_Sesion.pdf

Pienso que es un problema fácil, adecuado para alumnos de Secundaria (de cualquier nivel). Puede utilizarse para recordar propiedades de los triángulos isósceles. (Esos triángulos se encuentran teniendo en cuenta los datos del problema).

Problema
En la figura que observas, E es el centro de la circunferencia que pasa por A, B y D. El centro de la circunferencia que pasa por E y C es D. Si el ángulo en B es de 63º, ¿cuál es el valor del ángulo en C?

Solución.

Geometría (155). Alfa 3

Foto: José María Martinez García, puente de Brooklyn.

Continúo con otro problema similar a los dos últimos. De nuevo se utiliza la propiedad del ángulo inscrito en una circunferencia: “todo ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad que el ángulo central correspondiente”.
Pienso que también es fácil. Podría proponerse a partir de 2º de ESO.

Problema
Con los datos dados en la figura, ¿cuánto mide el ángulo α?

Solución.