Foto: Cristina Martínez García (“Cachalote” en el río Manzanares, Madrid)
Vuelvo con otro problema fácil.
Puede utilizarse para recordar la propiedad del ángulo inscrito en una circunferencia: “todo ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad que el ángulo central correspondiente”.
Podría proponerse a partir de 2 de ESO.
Problema
Con los datos dados en la figura (los arcos AD y BC miden 85º y 75º, respectivamente), ¿cuánto mide el ángulo α?
Foto: María Jesús Zarza (Monasterio de Santa María de Huerta, Soria)
Para inaugurar el curso 2018–2019 comienzo con un ejercicio fácil, para animar a todos.
Podría proponerse a partir de 1º de ESO. Sirve para recordar propiedades muy básicas: polígonos regulares; triángulos isósceles; suma de los ángulos de cualquier polígono…
Este problema se propuso en la XX Olimpiada Matemática Asturiana (Año 2013).
Problema
Los polígonos mostrados son regulares, y O el centro del hexágono. ¿Cuánto mide el ángulo α?
Foto: Caty Martinez García (Hacia Santiago de Compostela)
El problema que sigue es un clásico de la Geometría. Las formulaciones y demostraciones de este teorema pueden encontrarse fácilmente en internet: hay varias; y algunas muy originales. (Por ejemplo, una de las formulaciones del teorema dice así: “Un cuadrilátero ABCD es cíclico sí y solo sí AB · CD + AD · BC = AC · BD”).
Lo dicho en el párrafo anterior implica que mi contribución al asunto es prácticamente nula. Si lo propongo a los seguidores de este blog es porque a mí me ha entretenido un buen rato; obligándome a descubrir relaciones que me permitieran su demostración.
Doy una pista: además de aplicar la relación de los ángulos inscritos, debe construirse un triángulo sobre el lado AD que sea semejante al triángulo ACB.
Teorema
En todo cuadrilátero ABCD inscriptible en una circunferencia el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. Esto es: AC · DB = AB · CD + BC · AD.
Foto: Carmen García Matas (Soria, San Juan de Duero)
El problema que sigue requiere conocer algunas propiedades relaciondas con las tangentes comunes a una circunferencia; también hay que descubrir relaciones de proporcionalidad (triángulos en posición de Tales); y, por supuesto, conocer la relación entre los términos consecutivos de una progresión geométrica.
® En el Post 43 de esta serie se hizo un problema similar.
Problema
Dentro de un ángulo agudo se inscriben una serie de circunferencias tangentes entre sí y a los lados del ángulo. Demostrar que los radios de esas circunferencias están en progresión geométrica. Hallar también la razón de esa progresión en función del ángulo considerado. ¿Cuánto vale la razón si el ángulo mide 60º?
Foto: Carmen Martínez García.
El problema que sigue es un clásico de la Geometría. Pienso que es uno de los retos que todo profesor de Matemáticas debería superar (y no vale con escudarse en el lamentable déficit geométrico de los últimos años, ¿de los últimos 50 años?). No es un problema difícil pero sí artificioso; por tanto, puede que no se resuelva a la primera, pero con paciencia todo llegará.
Para su resolución hay que saber pocas cosas; la más necesaria es conocer que todo triángulo rectángulo puede inscribirse en una circunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa de ese triángulo.
Problema
Dado un triángulo de vértices ABC, cuyo ortocentro es O, se cumple que existe una circunferencia que pasa por los nueve puntos siguientes: los (tres) puntos medios de los lados del triángulo, A´, B´, C´; los (tres) puntos que son pies de las alturas del triángulo, P, Q, R; los (tres) puntos medios entre cada vértice y el ortocentro el triángulo, X, Y, Z.
Foto: Antonio Martínez García, Berlín.
El problema que sigue no es demasiado complicado; no obstante hay que establecer un par de relaciones entre los distintos radios que intervienen.
Es imprescindible conocer la propiedad de las tangentes a una circunferencia: la recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente al punto de tangencia.
Problema
Si el radio del cuadrante es 2, ¿cuánto mide el radio del círculo pequeño?
Foto: José María Martínez García (Catedral de S. Paul, Minnesota)
El problema que sigue se ha propuesto en la última Oposición para Profesores de Matemáticas en la Comunidad de Madrid (23/06/2018). El enunciado lo he adaptado para los lectores de este blog, buscando una mejor visualización del problema.
Pienso que es un ejercicio atractivo y no demasiado difícil, que puede proponerse a estudiantes de bachillerato.
Problema
En una corona circular se han inscrito ocho circunferencias, tangentes dos a dos (completando toda la corona), ¿cuál es la razón entre los radios de las circunferencias que forman la corona?
Foto: Antonio Martínez García (Aeropuerto de Madrid, T4)
El problema que sigue pude resolverse combinado los teoremas de Tales de Pitágoras. Pienso que puede proponerse a todos los estudiantes de Enseñanza Media.
Problema
Un triángulo equilátero de lado 10 cm se ha troceado, cortando por las líneas marcadas (rojas), para formar tres triángulos equiláteros más pequeños, de lados a, b y c. ¿Cuánto medirá cada uno de los lados de los triángulos nuevos?
