Foto: Carmen García Matas
El problema que sigue es realmente sencillo. Para resolverlo basta con conocer Pitágoras y el modo de hallar el área de un círculo. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes.
Problema
Halla el rea de la zona sombreada:
Foto: José María Martínez García (Lago Superior, Minnesota)
Es problema que se plantea en este post es una variación de los problemas de las bolas de billar. En Google + compartí (con origen en dmat csc) el problema que vuelvo a enuncia aquí:
¿Qué trayecto debe recorrer la bola A para golpear a la bola B, después de rebotar en una, dos y tres bandas?
La solución viene en https://goo.gl/KSsK2q
El problema no es demasiado complicado, pero requiere cierta intuición. Si consigues resolverlo quizá te animes con la tercera opción, la de tres bandas, del indicado más arriba.
Problema
¿En qué punto debe rebotar la bola A para impactar en la bola B tocando las dos bandas?
Foto: Caty Martínez García (Ermita de Nª Sª de los Remedios, Colmenar Viejo, Madrid)
Para resolver el problema que sigue puede utilizarse el llamado teorema de Pitágoras generalizado, que dice: “para cualquier triángulo de lados a, b y c se cumple que a2 = b2 + c2 – 2mc, siendo m la proyección de b sobre c”. Aunque hago la demostración más abajo sugiero que se intente como ejercicio previo.
Problema
Tres semicircunferencias, de diámetros 6, 10 y16, están en la posición que se indica en la figura. Hallar el radio de la circunferencia tangente común a las ellas.
Foto: Carmen Martínez García
Sin apenas tiempo para seleccionar el problema de este post (en muchos lugares se está terminando el curso escolar y el trabajo de evaluar a los alumnos se hace prioritario) he elegido un problema relativamente sencillo. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes.
Problema
Una circunferencia de radio 2 cm está inscrita en un rombo cuya diagonal mayor mide 8 cm. ¿Cuánto mide la superficie sombreada?
Foto: Cristina Martínez García (Colegio Tajamar, Madrid)
XXª OLIMPIADA de MAYO (Primer Nivel) Mayo 2014.
https://www.concursoprimavera.es/resources/olimpiada_mayo/olimpiadamayo-2014-problemas-nivel1.pdf
El problema que sigue, como indico arriba, se propuso en la Olimpiada de Mayo de 2014. Me he permitido cambiar la pregunta: allí se pedía la medida del ángulo CAP; aquí se pide la del ángulo CPA.
No es un problema difícil, pero pienso que es interesante: trae a la memoria de los alumnos la semejanza de triángulos y alguna de las propiedades de los triángulos isósceles. Podría proponerse a los alumnos de cualquier curso de secundaria.
Problema
Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles, con C = 90º. Sean M el punto medio de AB y N el punto medio de AC. Sea P tal que MNP es un triángulo equilátero con P en el interior del cuadrilátero MBCN. Calcular la medida del ángulo CPA.
Foto: Antonio Martínez García (Presa de Bolarque, Guadalajara)
El problema que sigue es un pequeño entretenimiento. Puede proponerse a todos los estudiantes (y a los no estudiantes).
Problema
Haz un corte en cada cartulina (solo uno) de forma que queden seis trozos que puedan juntarse para formar un cuadrado.
Foto: Adrian Santos López
Para resolver el problema de este post hay que conocer la propiedad de la tangente a una circunferencia y el teorema de Pitágoras. Para ello hay que descubrir triángulos rectángulos; como no es algo inmediato es posible que no salga con facilidad. Quizás esto aconseje proponerlo a los alumnos mayores: de 4º de ESO y de bachillerato.
Problema
Tres circunferencias de radios 2, 3 y 4 cm son tangentes exteriores dos a dos. La recta tangente común interior a las circunferencias de radios 2 y 4 corta a la otra circunferencia en dos puntos P y Q. ¿Cuánto mide la cuerda PQ?
Foto: Carmen García Matas (Gandia, Valencia)
Propuesto en algún concurso matemático en la Comunidad de Madrid (25 de noviembre de 2005).
El problema que sigue puede plantearse para estudiar las propiedades de las tangentes a una circunferencia; además hay que usar los teoremas de Pitágoras y Tales (semejanza). Es bastante sencillo y resulta adecuado para los alumnos de 14 y 15 años, de 2º o 3º de ESO.
Problema
El lado del cuadrado ABCD de la figura tiene longitud 2. Con diámetro el lado AB, trazamos una circunferencia de la que CE es tangente. ¿Cuál es la longitud de CE?
