Geometría (138). Triángulo

Foto: José María Martínez García. (St. Paul, Minnesota)

XXIV Olimpiada Matemática de Albacete https://app.box.com/s/o53b82zpmqzhoiwejaom
(En la página web indicada se dan los enunciados y soluciones de todos los problemas propuestos en el concurso. Aparecen también algunas fotografías de los alumnos participantes y de los organizadores).

Las Olimpiadas Matemáticas son un magnífico instrumento para que muchos alumnos y alumnas se aficionen a las Matemáticas. Sobre dichos eventos pueden pregonarse muchas cosas positivas (su buena organización; el cuidado en la redacción y presentación de los problemas; el acierto en los niveles de dificultad; el entusiasmo y el gran espíritu de compañerismo entre los participantes; …), pero la fundamental es el esfuerzo altruista de los profesores y profesoras que animan y preparan a sus alumnos; y también de los organizadores.

El problema que se sigue es relativamente sencillo. Resulta apropiado para trabajar la proporcionalidad (teorema de Tales). Puede proponerse a los alumnos de 2º o 3º de ESO.

Problema
En un triángulo se ha trazado una línea que divide a la base en dos partes que están en relación 2 a 3 (es decir, que la de la derecha mide 3/5 del total y la de la izquierda, 2/5 del total), y divide al lado de la izquierda en dos partes que están en relación 1 a 2 (la de arriba mide la mitad que la de abajo). El triángulo pequeño que así se forma tiene un área de 8 u2.
Averigua lo que medía el triángulo grande original (antes de dividirlo).

Solución.

Geometría (137). Trapecio

Foto: Jimena Martín García (Córdoba,España)

El problema que sigue se propuso en la Fase local (Madrid) de la LIII Olimpiada Matemática Española. Pienso que no es fácil. A mí no me ha salido a la primera, ni a la segunda… Hasta que a la tercera o la cuarta lo vi como algo sencillo. (Como ya he indicado varias veces, que un problema pase de difícil a fácil se consigue con perseverancia, con estudio y trabajo: “que la inspiración te pille trabajando”).
La matemática necesaria para su resolución es bastante elemental: basta con conocer cómo se calcula el área de un triángulo.

Problema
Dividimos el trapecio de la figura en cuatro triángulos trazando las diagonales. Si X e Y son las áreas de los triángulos sombreados, obtén en función de X e Y el área del trapecio.

Solución.

Geometría (136). Triángulos

Foto: Carmen Martínez García

El problema que se sigue es bastante fácil. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes, para que se animen, comprobando que a ellos también les puede salir un problema.
Para su resolución solo se requiere conocer los teoremas de Tales y de Pitágoras. Para aplicar Tales deben descubrir triángulos semejantes, que en este caso es casi inmediato.

Problema
¿Cuánto mide el área de cada uno de los triángulos sombreados? El rectángulo tiene base 4 y altura 3.

Solución.

Geometría (135). Área

Foto: Antonio Martínez García

Problema propuesto en el XXXIV Concurso “Puig Adam” NIVEL III (1º de Bachillerato). http://www.ucm.es//data/cont/media/www/pag-81199//2016_problemas.pdf

En este problema vuelve a utilizarse la propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia, que se recordó en el post anterior. También se necesitan aplicar los teoremas de Tales y de Pitágoras. Por tanto, puede proponerse a estudiantes de 14 o 15 años, de 3º de ESO.
(En el enunciado original, que me he permitido cambiar para poder proponerlo a los alumnos de 3º de ESO, en vez del área del triángulo se pedía el coseno del ángulo B).

Problema
En la figura siguiente se observa una circunferencia de centro O y un triángulo OAB, rectángulo en O siendo A un punto de la circunferencia. La hipotenusa AB vuelve a cortar a la circunferencia en el punto C siendo AC = 8 y CB = 10. Calcula el área del triángulo AOB.

Solución.

Geometría (134). Ángulos

Foto: Caty Martínez García (Helado)

La propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia: “todo ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco”, tiene notables aplicaciones en geometría, es sencilla y resulta eficaz en la resolución de problemas. En este blog ya se ha utilizado en varios post; por ejemplo, en Geometría (110) o Geometría (124).

El problema que sigue utiliza esa propiedad en uno de sus pasos. Es un problema fácil, que puede proponerse a los alumnos más jóvenes. (En el supuesto de que esos alumnos no conociesen esta propiedad se les debería invitar a demostrarla).

Problema
Demuestra que la amplitud del ángulo x es la tercera parte de la del ángulo BOC, siendo OA = PA.

Solución.

Geometría (133).Sombras

Foto: Pilar Martínez Mediano (Costa mediterránea)

El problema que se propone a continuación es uno de los múltiples que pueden plantearse partiendo de un triángulo equilátero. Teniendo en cuenta sus simetrías y recordando que, precisamente por eso, en él coinciden sus cuatro puntos notables (baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro), pueden establecerse relaciones que generan problemas más o menos interesantes, como el lector de este blog conocerá sobradamente.
Todas las relaciones métricas se pueden obtener aplicando los teoremas de Pitágoras y de Tales. Aquí utilizaré, para dar algo de agilidad a los desarrollos, las razones trigonométricas, que son un compendio de ambos teoremas.
Este problema puede plantearse a estudiantes de 3º y 4º de ESO (en España se cursan con 14 y 15 años).

Problema
En un triángulo equilátero de lado 2R se trazan arcos con centro en cada uno de sus vértices y radio R; entre esos arcos se inscribe una circunferencia, como se observa en la figura. Determinar el área sombreada.

Solución.

Geometría (132). Distancias 1, 2, 3.

Foto: José María Martínez García. (St. Paul, Minnesota)

Se me ha planteado el problema de encontrar la medida del ángulo APB, siendo P un punto interior a un cuadrado y tal que su distancia a tres de sus vértices (consecutivos) sea de 1, 2 y 3 unidades lineales. (Ver el dibujo de abajo). Mi impulso inicial ha sido dibujar un cuadrado, marcar un punto P y trazar los segmentos PA, PB y PC indicando que sus distancias son 1, 2 y 3; a continuación se trataría de encontrar las relaciones trigonométricas que me conducirían a solucionar el problema.
Pero, al comenzar a trabajar me he dado cuenta de que tal cuadrado debe tener unas dimensiones precisas; que no se puede partir de cualquier cuadrado. (Así, por ejemplo, el lado del cuadrado debe ser menor que 3, que es la suma de los segmentos PA y PB). Y ese ha sido el primer problema que me he propuesto resolver y que enuncio a continuación.
(Observación: He intentado, sin éxito, resolver el mismo problema utilizando solo regla y compás; supongo que podrá resolverse).

 Problema
Un punto interior del cuadrado ABCD está a distancia 1, 2 y 3, respectivamente, de los vértices A, B y C. Haz un dibujo exacto de la situación; esto es, da la medida del lado del cuadrado y la posición del punto. (Sugerencia: sitúa el vértice A en el origen de coordenadas).

Solución.

Geometría (131). Paralelogramo

Foto: Caty Martínez García (París)

El problema que sigue es básicamente un entretenimiento de dibujo. La solución se encuentra trazando líneas y viendo las relaciones que se dan entre los triángulos que se obtienen. Por tal motivo puede ser apropiado para mostrar a los alumnos las relaciones de proporcionalidad.

Problema
Las líneas que unen cada vértice de un paralelogramo con los puntos medios de los lados opuestos delimitan un octógono (véase la figura). Halla el área de ese octógono en función de la del paralelogramo de partida.

Solución.