Foto: Pilar Martínez Mediano (Costa mediterránea)
El problema que se propone a continuación es uno de los múltiples que pueden plantearse partiendo de un triángulo equilátero. Teniendo en cuenta sus simetrías y recordando que, precisamente por eso, en él coinciden sus cuatro puntos notables (baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro), pueden establecerse relaciones que generan problemas más o menos interesantes, como el lector de este blog conocerá sobradamente.
Todas las relaciones métricas se pueden obtener aplicando los teoremas de Pitágoras y de Tales. Aquí utilizaré, para dar algo de agilidad a los desarrollos, las razones trigonométricas, que son un compendio de ambos teoremas.
Este problema puede plantearse a estudiantes de 3º y 4º de ESO (en España se cursan con 14 y 15 años).
Problema
En un triángulo equilátero de lado 2R se trazan arcos con centro en cada uno de sus vértices y radio R; entre esos arcos se inscribe una circunferencia, como se observa en la figura. Determinar el área sombreada.
