Foto: Antonio Martínez García
XIX Concurso de Primavera de Matemáticas
El problema que se plantea a continuación no es sencillo. Es el típico problema que puede calificarse como de idea feliz: se nos debe ocurrir algo (no inmediato) que a posteriori, una vez visto, resulta bastante fácil.
Los conocimientos matemáticos que se necesitan para su resolución son bastante elementales: igualdad de triángulos; propiedad de la altura de un triángulo; ángulos entre paralelas… Su única dificultad puede ser el peligro de desconexión: que el alumno (o el profesor) que se enfrente a él piense que es muy complicado y/o que no merece la pena perder el tiempo. A primera vista puede que sea así, pero una vez resuelto la satisfacción que proporciona supera a la posible desgana inicial. Por tanto, ánimo.
Problema
Sean r y s dos rectas paralelas, y A un punto fijo a igual distancia de ambas rectas. Para cada punto B de la recta r, sea C el punto de la recta s tal que el ángulo BCA = 90º, y sea P el pie de la perpendicular desde A sobre la recta BC. Demuestra que, independientemente de qué punto B de la recta tomemos, el punto P está sobre una circunferencia fija.
Observación: Aunque el enunciado no presenta ningún dibujo, el siguiente ayuda a entender el problema.
