Geometría (43). Radios de circunferencias

Foto: Carmen García Matas (Daimuz, Valencia)
FELIZ AÑO NUEVO A TODOS

XLII Olimpiada Matemática Española. Madrid 2005 (Fase local)
 http://www.sociedadpuigadam.es/puig/olimpiada/enunciados_madrid_2005.html

El problema que sigue es más aparatoso que difícil. Inicialmente da la sensación de no saber cómo afrontarlo, pero teniendo en cuenta la propiedad de la tangente a la circunferencia y el teorema de Tales resulta más o menos asequible.
Puede ser apropiado para alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
En la figura adjunta se observa que las cinco circunferencias tangentes entre sí, además son tangentes a las rectas L1 y L2. Si el radio de la circunferencia pequeña es 8 y el de la mayor 18, el radio de la del medio es:
 A) 12        B) 12,5         C) 13           D) 13,5          E) 14         

Solución.

Geometría (42). Geometría divina

Foto: Antonio Martínez García (Portada de "Los Jerónimos", Madrid)

Dios sabe triangular. 

Te copio un soneto de Lope de Vega:

¿QUÉ TENGO YO QUE MI AMISTAD PROCURAS?
¿QUÉ INTERÉS TE SIGUE JESÚS MÍO,
QUE A MI PUERTA CUBIERTA DE ROCÍO
PASAS LAS NOCHES DE INVIERNO OSCURAS?

¡OH, CUÁNTO FUERON MIS ENTRAÑAS DURAS
PUES NO TE ABRÍ! ¡QUÉ EXTRAÑO DESVARÍO
SI MI INGRATITUD EL HIELO FRÍO
SECÓ LAS LLAGAS DE TUS PLANTAS PURAS.

¡CUÁNTAS VECES EL ÁNGEL ME DECÍA:
“ALMA, ASÓMATE AGORA A LA VENTANA,
VERÁS CON CUÁNTO AMOR LLAMAR PORFÍA”

Y CUÁNTAS, HERMOSURA SOBERANA:
“MAÑANA LE ABRIREMOS” RESPONDÍA,
¡PARA LO MISMO RESPONDER MAÑANA!

Hoy no puedo darte la solución, pero te deseo

Geometría (41). Semicircunferencia

Foto: Adina Marín, Lisboa

 XLII Olimpiada Matemática Española. Madrid 2005 (Fase local)

El problema que sigue no es difícil, pero requiere cierta claridad de ideas, pues se entremezclan las propiedades de las tangentes comunes a una circunferencia, el teorema de Pitágoras y el de Tales (semejanza).

Puede ser apropiado para alumnos de 3º de ESO en adelante, siempre que estén interesados. En este sentido me permito citar a George Pólya: “Un ingrediente esencial del problema es el deseo, la decisión y la voluntad de resolverlo. Un problema se convierte en vuestro problema, lo poseéis verdarderamente, cuando decidís abordarlo, cuando deseáis resolverlo”
(Este blog lo escribo, por pura coincidencia, el día de su nacimiento, el 13 de diciembre de 1887, en Budapest; murió en 1985, en Palo Alto, California).

Problema
El lado del cuadrado ABCD de la figura tiene longitud 2. Con diámetro el lado AB, trazamos una circunferencia de la que CE es tangente. ¿Cuál es la longitud de CE?

Solución.

Geometría (40). Medianas

Foto: Cristina Martínez García (Montejo de la Vega, Segovia)

XLVI Olimpiada Matemática Española. Murcia 2010
http://www.um.es/ome-murcia/46olimpiada/XLVI_OME/46_OME_MURCIA.html
 

El problema que sigue tiene una dificultad media. Para resolverlo hay que conocer qué son las medianas de un triángulo y cuáles son las relaciones de generan entre longitudes y áreas.
Básicamente son dos:
- Las medianas se cortan en un punto, el baricentro.
- Ese punto divide cada medina en dos trozos en la razón 2 : 1.
(Puede verse la entrada nº 13 de este Blog).

Problema           
En un triángulo de vértices A, B y C se sabe que la longitud del lado AB es 5, que el área es 18 y que las medianas por A y por B son perpendiculares entre sí. Hallar las longitudes de los otros dos lados, lados BC y AC.

Solución.

Geometría (39). Triángulos y circunferencia

Foto: Cristina Martínez García (Hornuez, Segovia)

XLII Olimpiada Matemática Española. Madrid (fase local, 2005)

El problema que sigue es bastante sencillo. Para su resolución solo es necesario deducir las relaciones entre las bases de los dos triángulos considerados. Puede proponerse a alumnos de 2º de ESO en adelante.

Problema
Sea AB un diámetro de una circunferencia y C un punto de él con 2 · AC = BC. Si D y E son extremos de otro diámetro, de forma que DC es perpendicular a AB, el cociente entre el área del triángulo DCE y el área del triángulo ABD es:
              A) 1/6           B) 1/4          C) 1/3            D) 1/2            E) 2/3

Solución.

Geometría (38). Dos rectángulos

Foto: Adina Marín (Catedral de La Almudena. Madrid)

(LI Olimpiada Matemática Española. Madrid (fase local)
http://www.sociedadpuigadam.es/puig/nueva_web/olimpiada2.php?id_concurso=1

El problema que sigue no es inmediato. Requiere cierta habilidad para “ver” relaciones pitagóricas en los triángulos que se forman. Y también destreza en el manejo de ecuaciones. Por ello puede resultar apropiado para alumnos de 4º de ESO en adelante.

Problema.
En el interior del cuadrado ABCD, de lado 1, dibujamos dos rectángulos iguales, AEFD y GHIJ. ¿Cuánto mide el segmento AE?

Solución.

Geometría (37). Más Pitágoras

Foto: Carmen Martínez García (Notre Dame, París)
(Ayer fueron asesinadas 127 personas en París: #PrayforParis)

(XVIII Concurso de Primavera)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2014/2014_1_nivel4.pdf

Los dos problemas que planteo a continuación son muy sencillos. Pueden hacerse a partir de 1º de  ESO, pues solo requieren saber utilizar el teorema de Pitágoras; aunque el primero puede hacerse más fácilmente. Como siempre también es necesario un ligero toque de ingenio, pero eso se da por supuesto a los habituales de este blog.

Problema 1. (XVIII Concurso 2ª Fase Nivel II)
En el dibujo se ven dos circunferencias tangentes entre sí descansando sobre un cuadrado. Si los radios de las circunferencias son 10 cm y 7 cm, ¿cuál es el área, en cm2, del cuadrado?

Problema 2. XVIII Concurso 1ª Fase (Nivel IV)
Sobre los lados de un triángulo rectángulo e isósceles se construyen tres cuadrados, como muestra la figura. Si la distancia entre los vértices A y B es de 16 cm, ¿cuál es el área ocupada por los cuatro polígonos?

Solución.

Geometría (36). Ángulo

Foto: Carmen Martínez García (París)

(LI Olimpidad Matemática Española, prueba de selección)(http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimp2015_archivos/primera_fase_problemas/viernes-sabado.pdf)

El problema que se plantea a continuación no es difícil. Puede proponerse a lumnos de 2º o 3º de ESO. Una de sus soluciones se obtiene a partir de la propiedad del ángulo inscrito en la circunferencia.

Problema
El triángulo ABC, inscrito en una circunferencia, es isósceles en C. Sea M el punto medio del arco BC de la circunferencia que no contiene a A, y sea N el punto donde la paralela a AB vuelve a cortar a la circunferencia. Se sabe que AN es paralela a BC. ¿Cuáles son las medidas del ángulo ABC?

Solución.