Foto: Cristina Martínez García (Nueva York)
De la Fase Local de la XLIII Olimpiada Matemática Española
Para resolver este problema debes saber las siguientes cuestiones:
1) El ortocentro de un triángulo es el punto de corte de sus alturas.
2) El circuncentro de un triángulo es el punto de corte de sus mediatrices.
3) Dos figuras son semejantes cuando los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus correspondientes en la otra. Esto es, el cociente de las longitudes de ambos segmentos es igual a la constante de proporcionalidad
Problema
Demuestra que, en un triángulo, la distancia de un vértice cualquiera al ortocentro es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto a ese vértice.
(Por ejemplo, para la figura: la distancia de A a O = doble de la distancia de P al lado BC; siendo O el ortocentro y P el circuncentro).
Pista: ¿Puede el punto O ser el circuncentro de otro triángulo?
