Foto: Catalina Martínez García (Catedral de San Vito, Praga)
Propuesto en la XXIX OLIMPIADA MATEMÁTICA FASE NACIONAL 2018
Este problema requiere cierto nivel de abstracción, de generalización, pues intervienen un número (m) indeterminado de polígonos regulares, cada uno de ellos con un número (n) indeterminado de lados.
Para resolverlo hay que entender claramente el enunciado (posiblemente necesites leerlo dos o tres veces, observando la figura dada); después hay que animarse y aceptar el reto. Si estás decidido te doy tres pistas que pueden facilitarte el trabajo: 1) Hay que saber (su deducción es sencilla) cuánto mide cada uno de los ángulos internos de un polígono regular de n lados; 2) Relaciona el centro de la “estrella” interior con los lados de un polígono, forma triángulos y halla el valor de sus ángulos; 3) Los números m y n deben ser enteros positivos.
Podría proponerse a los alumnos/as de Bachillerato aficionados a la Geometría. (Para los profesores y profesoras puede ser un reto entretenido).
Problema
Un anillo simétrico está compuesto por m polígonos regulares idénticos, cada uno de n lados, de acuerdo con las siguientes reglas:
i. Cada polígono en el anillo toca exactamente a otros dos.
ii. Dos polígonos adyacentes tienen un lado común.
iii. El perímetro de la región interna (la parte encerrada por el anillo), consiste en exactamente dos lados de cada polígono del anillo.
El siguiente ejemplo muestra un anillo con m = 6 y n = 9.
¿Para qué valores de m y n son posibles anillos de este tipo?
