Geometría (67). Uve

Foto: Adrián Santos López (Auñón, Guadalajara)

Del XX Concurso de Primavera de Matemáticas (1ª Fase, Nivel IV)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2016/2016_1_nivel4.pdf

El problema que sigue es relativamente sencillo. Podría plantearse a alumnos de cualquier nivel. Solo deben tener la noción de semejanza y conocer cómo se calculan las áreas de las figuras planas elementales.

Problema
En el cuadrado de la figura, de lado 20 cm, hemos dibujado esta “V” con las dimensiones que se indican.  ¿Cuál es el área, en cm2, que ocupa la letra “V”? 

Solución.

Geometría (66). Trapecio

Foto: Carmen García Matas (El Escorial)

Del XX Concurso de Primavera de Matemáticas (2ª Fase, Nivel IV)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2016/2016_2_nivel4.pdf

El problema que sigue no es difícil. Podría plantearse a alumnos de 3º o 4º de ESO, incluso a los de 2º de ESO.
Para su resolución hay que recordar cómo va lo de la razón de proporcionalidad entre longitudes y superficies en las figuras semejantes. Y, como siempre, lo imprescindible es tener interés por resolverlo.

Problema
En el triángulo isósceles PQR de la figura, en el QP = 150 y PR = QR = 125, hay  tres segmentos paralelos a QR que lo dividen en cuatro regiones de igual área. ¿Cuánto vale la altura h del trapecio inferior? 

Solución.

Geometría (65). Cuadrado

Foto: José María Martínez García (Ávila)

Del XIX Concurso de Primavera de Matemáticas (2ª Fase, Nivel IV) 
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2015/2015_2_nivel4.pdf

El problema que sigue es relativamente sencillo. Puede proponerse a alumnos de cualquier nivel de Secundaria. Para su resolución solo es necesario hacer pequeños arreglos con las figuras, buscando o definiendo otras que nos permitan establecer relaciones entre sus lados.

Problema
La figura adjunta muestra un rectángulo ABCD inscrito en una semicircunferencia  y su diámetro. las dimensiones del rectángulo son AB = 12 y BC = 28. Se ha construido un cuadrado DEFG como ves en la figura. ¿Cuánto vale el área del cuadrado DEFG?

Solución.

(Geometría (64). Lentes

Foto: Caty Martínez (París)

Del XX Concurso de Primavera de Matemáticas (2ª Fase, Nivel IV)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2016/2016_2_nivel4.pdf

Los lectores de este blog saben que no busco problemas complicados o que requieran algún aparato matemático más allá de los niveles de ESO; también procuro huir de la trigonometría. Mi objetivo es recopilar una serie de problemas que puedan estimular la afición a la Geometría entre los jóvenes estudiantes. Algo conseguiremos entre todos.
El problema que sigue se propuso hace unos meses a los alumnos de bachillerato participantes en el Concurso de Primavera de Matemáticas. Pienso que no es difícil, pero es posible que no se vea a la primera; en ese caso, deben buscarse alternativas gráficas, recordar otros problemas similares...,  dejarlo para otro momento, aunque sin rendirse, pues el problema es asequible para alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
La primera  imagen de don  Retorcido es una caricatura que le hicieron hace 20 años (cuando comenzaron los Concursos de Primavera). Está enmarcada en un cuadrado de 6 dm de lado, la nariz es un triángulo equilátero y cada lente, circular, es tangente a dos lados del marco y a un lado de la nariz. ¿Cuánto mide el radio del círculo que representa cada lente?

Solución.

Geometría (63). Semicircunferencia

Foto: Adina Marín (Sevilla)

Del X Concurso de Primavera de Matemáticas (2ª Fase, Nivel IV)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2006/2006_2_nivel4.pdf

El problema que sigue se propuso hace algunos años a los alumnos de bachillerato participantes en el Concurso de Primavera de Matemáticas. Pienso que tiene un nivel de dificultad medio, aunque a mí me ha salido al segundo intento: lo tuve que dejar para otro día, pues durante un buen rato no fui capaz de “ver” una solución no trigonométrica. La solución que puede calificarse de fácil es asequible para alumnos de 3º de ESO (14 o 15 años), pues para encontrarla solo se requiere saber hallar el área de un triángulo y algo de ángulos inscritos.

Problema
En el semicírculo de la figura, de diámetro AD = 4, inscribimos el cuadrilátero ABCD con AB = BC = 1. ¿Cuánto mide el lado CD?

Solución.

Geometría (62). Sector

Foto: Cristina Martínez García. (Museo del ferrocarril, Madrid)

Del X Concurso de Primavera de Matemáticas (2ª Fase, Nivel IV).
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2006/2006_2_nivel4.pdf

Este problema se propuso hace unos años a los alumnos de bachillerato participantes en el Concurso de Primavera de Matemáticas. Pienso que tiene un nivel de dificultad medio, aunque podría proponerse a partir de 3º de ESO (14 o 15 años). Para su resolución se necesita, como tantas veces, conocer los dos teoremas básicos de la Geometría: Pitágoras y Tales.

Problema
En la figura que te mostramos, el cociente  entre el radio del sector y el del círculo inscrito en ese sector es 3. ¿Cuál es el cociente entre el área del sector y el área del círculo?

Solución.

Geometría (61). Trapecio

Foto: José María Martínez García (Desierto de Arabia)

Del XIII Concurso de Primavera de Matemáticas.
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2009/2009_2_nivel4.pdf

Después de un par de problemas más o menos complicados vuelvo a otro sencillo.
Para su resolución se requiere conocer solamente el área de un triángulo y la relación de Tales entre triángulos semejantes.
Podría proponerse a alumnos de 2º de ESO, indicándoles, además, que comprobasen que el resultado obtenido es correcto, haciendo por separado el área del triángulo y la del trapecio. (Es posible que esa comprobación suponga para los alumnos una dificultad mayor).

Problema
En el triángulo rectángulo ABC de la figura, el cateto AB tiene longitud 3. Por el punto P, trazamos una paralela a BC que corta a la hipotenusa AC en el punto Q. Si el área del trapecio PBCQ es el doble que el área del triángulo PQA, ¿cuánto mide AP?

Solución.

Geometría (60). Cociente de superficies

Foto: Catalina Martínez García (Gangas de Onís, Asturias)

De la XLII Olimpiada Matemática Española (Fase local, Comunidad de Madrid)

El problema que propongo en este post tampoco es sencillo; al menos, a mí no me ha resultado fácil. Además, aunque puedo dar tres formas de solucionarlo no he conseguido la que realmente pretendía, pues mi intención inicial era resolverlo comparando gráficamente las superficies que se proponen, digamos una respuesta de marquetería: dividendo las superficies triangulares, pegando unas partes a otras…
La primera solución la he encontrado con ayuda del álgebra. Creo que es un tanto artificiosa, quizá nada sencilla.
También puede darse otra solución trigonométrica más sencilla, lo que permite poner de manifiesto la potencia de la trigonometría.
Por último, sin buscarla, encontré una tercera solución; quizá la más sencilla
Podría recomendarse a alumnos de bachillerato.

Problema
En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado y BEF un triángulo equilátero. ¿Cuál es el cociente  entre el área del triángulo DEF y el área del triángulo ABE?

Solución.