Geeometría (59) Taladro

Foto: Adina Marín (Vaticano)

Este problema es distinto a los últimos que he propuesto. Hay que advertir que no faltan datos y que el volumen que se pide es un número concreto.
Puede proponerse a alumnos de 2º de bachillerato; o a más jóvenes si se les da el volumen de un casquete esférico (fórmula que no es frecuente conocer de memoria).
Buscando un gráfico apropiado en Internet (que no he encontrado) he visto que es un problema que circula por la red, incluso se dice que es muy sencillo. Puede que sea así, pero yo he necesitado deducir la fórmula de uno de los casquetes esféricos que desaparecen de la esfera inicial: lo he hecho mediante una integral, por cierto, muy sencilla si se sabe hacer.

Problema
Se taladra diametralmente una esfera. Si el agujero cilíndrico tiene 6 cm de altura, ¿cuánto vale el volumen del trozo de esfera que queda?

Solución.

Geometría (58) Doblado

Foto: Carmen García Matas, (Madrid, Retiro)

Del XI Concurso de Primavera (Madrid, 2007)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2007/2007_2_nivel3.pdf

Otro problema relativamente sencillo. En la solución propongo dos formas de resolverlo; supongo que habrá alguna más. Ánimo y a por él.
Puede proponerse a alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
Una hoja cuadrada de papel de 12 cm2 de área, es blanca por una cara y roja por la otra. Doblamos una esquina de la hoja formando un triángulo con dos lados paralelos a los lados de la hoja, como se muestra en la figura. Si ahora la superficie visible de la hoja es la mitad roja y la mitad blanca, ¿cuál es, en cm, la longitud del doblez EF?

Solución.

Geometría (57) Segmento

Foto: Catalina Martínez García (Lagos de Covadonga)

Del VI Concurso de Primavera (Madrid, 2002)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2002/2002_2_nivel4.pdf

Este problema es ligeramente más difícil que los anteriores, aunque solo requiere conocer un resultado clásico de Geometría: el teorema de la altura. (Si no lo recuerdas pincha aquí).
Puede proponerse a alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
Sea AB un segmento de longitud 26 y C y D dos puntos en él tales que AC = 1 y AD = 8. Sean E y F dos puntos en una de las semicircunferencias de diámetro AB tales que EC y FD son perpendiculares a AB. Calcula EF.

Solución.

Geometría (56). Circunferencia inscrita

Foto: Adina Marín (Roma)

De la XLIX OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA (Madrid, 2012)

Vuelvo a proponer otro problema relativamente sencillo; pero pienso que es bonito. Cualquier alumno (o profesor) que consiga resolverlo tendrá una pequeña satisfacción: de eso se trata.
Para resolverlo hay que conocer tres o cuatro cosas de geometría básica: la propiedad de la tangente a una circunferencia, manejar cuestiones de ángulos y de polígonos regulares, semejanza, Pitágoras…
Me gustaría acertar si digo que cualquier alumno de 2º de ESO debe estar en condiciones de hacerlo.

Problema
La circunferencia de la figura está inscrita en el cuadrilátero ABCD, siendo R, S, T y U los puntos de tangencia con los lados. Si el ángulo A =  90º, DR = 3 y el arco RST es de 210º, halla el área del círculo. 

Solución.

Geometría (55). Cuadrados

Foto: Adrian Santos López

XII Concurso de Primavera de Matemáticas (Madrid, 2008)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2008/2008_2_nivel4.pdf

El problema que sigue es relativamente sencillo. Aunque se propuso a alumnos de bachillerato puede hacerse a partir de 2º de ESO, pues basta con aplicar el teorema de Pitágoras.

Problema
El cuadrado ABCD de la figura mide 4 cm de lado y el cuadrado AEFG, 2 cm de lado. ¿Cuál es, en cm, la longitud de CE?

Solución.

Geometría (54). Galletas

Foto: Adina Marín, Roma

De la Olimpiada de Albacete

De la Olimpiada de Albacete
http://scmpm.blogspot.com.es/p/problemas-de-la-olimpiada-matematica.html

El problema que sigue es muy sencillo. Pienso que puede resolverlo cualquier estudiante de ESO (a partir de 12 años). Espero que sea así. Para su resolución necesitas conocer Pitágoras y hacer otro dibujo sobre las “galletas”.

Problema
Hemos colocado tres galletas totalmente circulares e iguales dentro de una caja rectangular, de forma que son tangentes entre sí y tangentes a las paredes de la caja que las alberga. Determina la proporción entre los lados de la caja.

Solución.

Geometría (53). Circunferencias en hexágono

Foto: Carmen Martínez García (Nuremberg)

De la Olimpiada de Albacete
http://scmpm.blogspot.com.es/p/problemas-de-la-olimpiada-matematica.html

El problema que planteo en este post es muy sencillo. Espero que esto anime a los aficionados más jóvenes, pues seguro que sabrán resolverlo.
Si inicialmente no aciertas a resolverlo haz otros dibujos dentro del hexágono: seguro que “verás” la solución.

Problema  
En la  siguiente figura  las circunferencias son iguales, tangentes dos a dos y tangentes al hexágono. Calcula su radio en  función del lado del hexágono. (Si te resulta más cómodo puedes suponer que el lado del hexágono mide 1 m).

Solución.

Geometría (52). Cruz griega

Foto: Carmen Martínez García (Viena)

Del XII Concurso de Primavera de Matemáticas (Madrid, 2008; Nivel IV)
Este problema es algo más difícil que los últimos que he propuesto. En el concurso a que hago referencia se propuso para estudiantes de bachillerato. Aunque no requiere conocimientos especiales, pienso que se necesita cierta visión de conjunto de las cuestiones geométricas básicas.
Prefiero no dar ninguna pista inicial para que el reto sea más interesante. Y, recuerda, lo verdaderamente imprescindible es tu interés y empeño por resolverlo.

Problema
Los doce lados del polígono de la figura son de igual longitud, 4, y cualesquiera dos consecutivos se cortan en ángulo recto. ¿Cuál es el área del cuadrilátero ABCM?

Solución.