Geometría (145). Rebotes

Foto: José María Martínez García (Lago Superior, Minnesota)

Es problema que se plantea en este post es una variación de los problemas de las bolas de billar. En Google + compartí (con origen en dmat csc) el problema que vuelvo a enuncia aquí:
¿Qué trayecto debe recorrer la bola A para golpear a la bola B, después de rebotar en una, dos y tres bandas?
La solución viene en https://goo.gl/KSsK2q

El problema no es demasiado complicado, pero requiere cierta intuición. Si consigues resolverlo quizá te animes con la tercera opción, la de tres bandas, del indicado más arriba.

 Problema
¿En qué punto debe rebotar la bola A para impactar en la bola B tocando las dos bandas?

Solución.

Geometría (144). Circunferencias

Foto: Caty Martínez García (Ermita de Nª Sª de los Remedios, Colmenar Viejo, Madrid)

Para resolver el problema que sigue puede utilizarse el llamado teorema de Pitágoras generalizado, que dice: “para cualquier triángulo de lados a, b y c se cumple que a2 = b2 + c2 – 2mc, siendo m la proyección de b sobre c”. Aunque hago la demostración más abajo sugiero que se intente como ejercicio previo.

Problema
Tres semicircunferencias, de diámetros 6, 10 y16, están en la posición que se indica en la figura. Hallar el radio de la circunferencia tangente común a las ellas.

Solución.

Geometría (143). Rombo

Foto: Carmen Martínez García

Sin apenas tiempo para seleccionar el problema de este post (en muchos lugares se está terminando el curso escolar y el trabajo de evaluar a los alumnos se hace prioritario) he elegido un problema relativamente sencillo. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes.

Problema
Una circunferencia de radio 2 cm está inscrita en un rombo cuya diagonal mayor mide 8 cm. ¿Cuánto mide la superficie sombreada?

Solución.

Geometría (142). Ángulo

Foto: Cristina Martínez García (Colegio Tajamar, Madrid)

XXª OLIMPIADA de MAYO (Primer Nivel) Mayo 2014.
https://www.concursoprimavera.es/resources/olimpiada_mayo/olimpiadamayo-2014-problemas-nivel1.pdf

El problema que sigue, como indico arriba, se propuso en la Olimpiada de Mayo de 2014. Me he permitido cambiar la pregunta: allí se pedía la medida del ángulo CAP; aquí se pide la del ángulo CPA.
No es un problema difícil, pero pienso que es interesante: trae a la memoria de los alumnos la semejanza de triángulos y alguna de las propiedades de los triángulos isósceles. Podría proponerse a los alumnos de cualquier curso de secundaria.

Problema
Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles, con C = 90º. Sean M el punto medio de AB y N el punto medio de AC. Sea P tal que MNP es un triángulo equilátero con P en el interior del cuadrilátero MBCN. Calcular la medida del ángulo CPA.

Solución.

Geometría (141). Cartulinas

Foto: Antonio Martínez García (Presa de Bolarque, Guadalajara) 

El problema que sigue es un pequeño entretenimiento. Puede proponerse a todos los estudiantes (y a los no estudiantes). 

Problema
Haz un corte en cada cartulina (solo uno) de forma que queden seis trozos que puedan juntarse para formar un cuadrado.

Solución.

Geometría (140). Circunferencias

Foto: Adrian Santos López 

Para resolver el problema de este post hay que conocer la propiedad de la tangente a una circunferencia y el teorema de Pitágoras. Para ello hay que descubrir triángulos rectángulos; como no es algo inmediato es posible que no salga con facilidad. Quizás esto aconseje proponerlo a los alumnos mayores: de 4º de ESO y de bachillerato.

Problema
Tres circunferencias de radios 2, 3 y 4 cm son tangentes exteriores dos a dos. La recta tangente común interior a las circunferencias de radios 2 y 4 corta a la otra circunferencia en dos puntos P y Q. ¿Cuánto mide la cuerda PQ?

Solución.

Geometría (139). Longitud

Foto: Carmen García Matas (Gandia, Valencia)

Propuesto en algún concurso matemático en la Comunidad de Madrid (25 de noviembre de 2005).

El problema que sigue puede plantearse para estudiar las propiedades de las tangentes a una circunferencia; además hay que usar los teoremas de Pitágoras y Tales (semejanza). Es bastante sencillo y resulta adecuado para los alumnos de 14 y 15 años, de 2º o 3º de ESO.

Problema
El lado del cuadrado ABCD de la figura tiene longitud 2. Con diámetro el lado AB, trazamos una circunferencia de la que CE es tangente. ¿Cuál es la longitud de CE?

Solución.

Geometría (138). Triángulo

Foto: José María Martínez García. (St. Paul, Minnesota)

XXIV Olimpiada Matemática de Albacete https://app.box.com/s/o53b82zpmqzhoiwejaom
(En la página web indicada se dan los enunciados y soluciones de todos los problemas propuestos en el concurso. Aparecen también algunas fotografías de los alumnos participantes y de los organizadores).

Las Olimpiadas Matemáticas son un magnífico instrumento para que muchos alumnos y alumnas se aficionen a las Matemáticas. Sobre dichos eventos pueden pregonarse muchas cosas positivas (su buena organización; el cuidado en la redacción y presentación de los problemas; el acierto en los niveles de dificultad; el entusiasmo y el gran espíritu de compañerismo entre los participantes; …), pero la fundamental es el esfuerzo altruista de los profesores y profesoras que animan y preparan a sus alumnos; y también de los organizadores.

El problema que se sigue es relativamente sencillo. Resulta apropiado para trabajar la proporcionalidad (teorema de Tales). Puede proponerse a los alumnos de 2º o 3º de ESO.

Problema
En un triángulo se ha trazado una línea que divide a la base en dos partes que están en relación 2 a 3 (es decir, que la de la derecha mide 3/5 del total y la de la izquierda, 2/5 del total), y divide al lado de la izquierda en dos partes que están en relación 1 a 2 (la de arriba mide la mitad que la de abajo). El triángulo pequeño que así se forma tiene un área de 8 u2.
Averigua lo que medía el triángulo grande original (antes de dividirlo).

Solución.