Geometría (185). Medianas (aplicación)

Foto: Cristina Martínez García (Lisboa)

Problema propuesto en el XXII Concurso de Primavera de Matemáticas (2ª Fase, Nivel IV, Bachillerato).
https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/4LJeSx42TkPfwNlI/problemas-2018-fase2-nivel4.pdf

Es un problema sencillo. Para resolverlo hay que conocer qué son las medianas de un triángulo y qué propiedad cumple el baricentro (punto de corte de las medianas).
Puede proponerse a partir de 2º de ESO.

Problema
Dos de las medianas de un triángulo son perpendiculares y miden 8 y 12 cm. calcular el área del triángulo.

Solución.

Geometría (184). Medianas (Otra propiedad)

Fotos: Antonio Martínez García

Este problema puede tratarse como una ampliación del anterior, aunque creo que es más ingenioso.
Aquí debe conocerse la propiedad del baricentro (punto de corte de las medianas) y, además, utilizar Tales.
Puede proponerse a los alumnos de 3º y 4º de ESO.

Problema
Demostrar que la suma de las longitudes de las tres medianas de un triángulo es mayor que las tres cuartas partes del perímetro de ese triángulo.

Solución.

Geometría (183). Medianas (Una propiedad)

Foto: Caty Martínez García, Oporto

Para resolver el problema que sigue hay que saber qué es la mediana de un triángulo y aplicar la desigualdad triangular; y poco más.
Puede proponerse a los alumnos de 3º y 4º de ESO.

Problema
Demostrar que la suma de las longitudes de las tres medianas de un triángulo está comprendida entre el perímetro y el semiperímetro de ese triángulo.

Solución.

Geometría (182). Rectángulo

Foto: Antonio Martínez García, Núremberg

El problema que se plantea a continuación se propuso en el XXII Concurso de Primavera de Matemáticas Nivel IV, Bachillerato):
https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/dthPAMjhOQPQMKeX/problemas-2018-fase2-nivel4.pdf

Se trata de un problema relativamente fácil que podría resolverse a partir de 3º de ESO; para ello habría que saber algo de triángulos rectángulos; y de semejanza.

Problema
En el rectángulo ABCD de la figura, las rectas r y s, que pasan por los vértices A y C, son perpendiculares a la diagonal BD y la dividen en tres trozos iguales de 1 cm de longitud cada uno. ¿Cuál es el área del rectángulo?

Solución.

Geometría (181). Propiedad recta-triángulo

Foto: Miguel Quintero Goicoechea, Budapest

El problema que se plantea a continuación es una curiosa aplicación del teorema de los senos.
No es una cuestión demasiado difícil, pero hay que tener cierta paciencia para buscar (y encontrar) los triángulos adecuados a los que aplicar el teorema; después hay que…

Problema
Dados un triángulo ABC y una recta r no paralela a ninguno de los lados, demostrar que si P, Q y R son, respectivamente, los puntos de corte de los lados BC, CA y AB (o sus prolongaciones) con la recta, entonces se cumple la relación que se indica en el dibujo.

Solución.

Geometría (180). Raíz de 2 no es racional

Foto: Cristina Martínez García (Lisboa)

Que raíz de 2 no es racional es la típica demostración que se hace a los alumnos de 1º de Bachillerato. (Puede hacerse a partir de 3   º de ESO, pues es muy sencilla. La mayor dificultad suele ser el poco interés que tienen los alumnos por las cuestiones teóricas; en consecuencia, desconectan, y no entienden nada.). Yo lo he demostrado bastantes veces, siempre en 1º de Bachillerato de Ciencias. La demostración algebraica, la que yo conocía hasta hace pocas semanas, viene en bastantes libros; si el lector no la conoce puede verla al final de este documento. El método de demostración que se utiliza es el de reducción al absurdo: suponiendo que raíz de 2 es racional (igual a una fracción), mediante transformaciones elementales, se llega una contradicción.

La demostración geométrica se basa en el mismo método, pero, en este caso, las transformaciones elementales son geométricas.

Problema
Demostrar geométricamente que raíz de 2 no es racional. Puede partirse de un triángulo rectángulo de catetos iguales a 1.

Solución.

Geometría (179). Tangente común (III.4)

Foto: Caty Martínez García, costa Vasca.

Este es el cuarto (y último) post con el mismo problema. Termino proponiendo encontrar la solución analítica para dos circunferencias dadas y un punto, también dado, en una de ellas.

Problema
Dadas las dos circunferencias y el punto A que se indica, halla la ecuación de otra circunferencia que sea tangente común a esas circunferencias y que pase por el punto A. Se trata de encontrar el centro y el radio de la tangente común.

Solución.

Geometría (178). Tangente común (III.3)

Foto: José María Martínez García (Glacier National Park, USA)

Este es el tercer post con el mismo problema. Ahora propongo obtener la solución a partir de dos lugares geométricos: el centro de la circunferencia pedida será uno de los puntos de corte de una recta con una hipérbola. Encontrar esa recta y esa hipérbola es el reto.

Otra cosa: Los lectores de este blog saben que dibujo utilizando el programa Geogebra; pues bien, al hacer los dibujos he descubierto soluciones no previstas. Las sugiero al final.

(Y los que estén de vacaciones que descansen, pero siempre haciendo algo…).

Problema
Dadas dos circunferencias externas y un punto A en una de ellas, trazar otra circunferencia que sea tangente común a esas circunferencias y que pase por el punto A. Comprobar que el centro de la circunferencia pedida es el punto de corte de una recta que pasa por A y de una hipérbola cuyos focos son los centros de las circunferencias dadas.

Solución.