Geometría (231). En un triángulo rectángulo...

Fofo: Siân Williams ( Conwy Castle, Gales)

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas:
http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.
“La idea central de esta página es proporcionar a alumnos y profesores un material básico de problemas para preparación olímpica. Pensamos que puede ser especialmente útil a los que comienzan en estas tareas”. 

El problema que sigue es el número 42 de los propuestos.  Pienso que tiene un grado de dificultad aceptable para los alumnos de 3º de ESO en adelante. Hay que determinar ciertas relaciones en el proceso de construcción y aplicar Pitágoras.

Problema
Por el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se traza una recta que corta al cateto mayor con ángulo de 45º. Calcular en función de la hipotenusa, la suma de los cuadrados de los segmentos determinados así en ese cateto.

Solución.

Geometría (230). Cateto

Foto: Cristina Martínez García.

Para empezar bien el año 2021 propongo un ejercicio fácil. Se puede plantear a los alumnos más jóvenes, quizás desde 2º de ESO.
Puede venir bien para recordar algunas propiedades de los triángulos rectángulos, entre ellas las referentes a las circunferencias inscrita y circunscrita a ellos.

Problema
El triángulo ABC es rectángulo en A. Si el radio de su circunferencia inscrita mide 5 cm y el cateto AC mide 20 cm:
a) ¿cuánto mide el otro cateto?
b) ¿cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita a ese triángulo?

Solución.

Navidad 2020

Durante la larga cuarentena de este año

he repetido en muchos posts la frase:

“en tiempos de coronavirus no estás solo”.

En estos días, con más razón:

“en tiempos de Navidad nadie debe estar solo”.

Acude al Belén, que allí nos encontraremos.

 Feliz Navidad.

José María

Geometría (229). Paradoja

Foto: Carmen Martínez García (Tenerife)

En este post propongo una conocida paradoja geométrica. Si se observan las dos figuras de abajo  surge una contradicción visual. Al recolocar las piezas, en la segunda figura sobra un cuadro. Naturalmente, la vista nos engaña.

Problema
Si se recolocan las cuatro piezas coloreadas parece que se gana (¿o pierde?) un cuadro.
Da una explicación matemática de esta paradoja.

Solución.

Geometría (228). Estrella

Foto: José María Martínez García, St. Paul, Minesota

El problema que se propone a continuación no es difícil, pero puede resultar engorroso. Puede hacerse de varias maneras. Para obtener los datos necesarios hay que saber hallar los ángulos de un polígono regular; también se necesita aplicar Pitágoras en diferentes ocasiones. Por último, no viene mal saber algo de trigonometría.
Podría plantearse a los alumnos de bachillerato.

Problema
Para la decoración navideña un ayuntamiento desea colocar estrellas luminosas como la que se muestra en la figura. Estas estrellas están inscritas en un dodecágono regular de 1 metro de lado, y sus lados son simétricos 3 a 3 de los lados del dodecágono usando como ejes de simetría los lados del cuadrado punteado. ¿Cuál es la superficie de la estrella?

Solución.

Geometría (227). Trapecio

Foto: Carmen García Matas. (Tenerife)

El problema que se plantea a continuación no es difícil, pero hay que “verlo”. Hay que salir del trapecio y descubrir otra cosa. Sirva de pista que en algún momento hay que aplicar Tales.
Podría plantearse a los alumnos aficionados a la Geometría, desde 3º de ESO en adelante.

Problema
En el trapecio ABCD la suma de los ángulos de la base es igual a 90º. Demuestra que el segmento que une los puntos medios de las bases es igual a la mitad de la diferencia de las longitudes de esas bases.

Solución.

Geometría (226). Diagonal "aúrea"

Dibujo: Antonio Martínez García

El problema que sigue requiere conocer el significado del coseno de un ángulo. También hay que saber encontrar triángulos semejantes y aplicar Tales.
Podría plantearse a los alumnos de 4º de ESO en adelante.

Problema
Demuestra que la diagonal de un pentágono regular de lado 1 vale el número áureo. Con ese dato, halla el valor del coseno del ángulo sombreado.

Solución.

Geometría (225). Áreas de triángulos

Foto: Cristina Martínez García (Tenerife)

El problema que sigue es bastante sencillo. Puede proponerse a los alumnos de Secundaria de cualquier nivel. Hay que conocer los teoremas de Tales y de Pitágoras; y la fórmula del área de un triángulo.

Problema
Los triángulos ABC y ABD, representados en la figura, son rectángulos en A y D, respectivamente. Si se conocen las medidas de los lados AC = 15 cm, AD = 16 cm y DB = 12 cm, ¿cuánto valdrá el área de cada uno de los 5 triángulos dibujados?

Solución.