Geometría (224). Tales + Pitágoras

Foto: Catalina Martínez García, Salamanca

Problema propuesto en XXIII CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÉTICAS (1ª Fase, Nivel IV, Bachillerato).
https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/cwVYVKfesZ8nUrKH/problemas-2019-fase1-nivel4.pdf

Es un problema sencillo. Puede proponerse a los alumnos de Secundaria de cualquier curso. Hay que conocer los teoremas de Tales y de Pitágoras; aunque podría hacerse aplicando solo Tales.

Problema
En el interior de un triángulo ABC de catetos 3 y 4 se elige un punto D que dista 1 de cada uno de los catetos. Por D se trazan paralelas a los tres lados que cortan a los lados en los puntos señalados en la figura. ¿Cuánto vale la suma de los segmentos PQ + RS?

Solución.

Geometría (223). Arco capaz

Foto: Carmen Martínez García (Tenerife, el Teide)

Problema extraído del libro “Problemas de Matemáticas Elementales”, V. B. Lidski y otros, Editorial Mir 1978.

No es un problema sencillo. Para resolverlo hay que utilizar la noción de arco capaz: el lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento con el mismo ángulo. Además, debe ordenarse bien el proceso, pues puede resultar engorroso. Por último, hay que tener una cierta sencilla inspiración. No obstante, como suele pasar en Geometría, una vez resuelto es sencillo de entender.
Puede proponerse a los alumnos aficionados a la Geometría; quizá, a partir de 4º de ESO.

Problema
Sobre los lados del triángulo ABC se han construido (hacía afuera) triángulos equiláteros ABC´, BCA´ y CAB´. Demostrar que las rectas AA´, BB´ y CC´ se cortan en el mismo punto.

Solución.

Geometría (222). Proporción (longitudes y áreas)

Foto: José María Martínez García (Gran Cañón, USA)

Problema propuesto en XXI CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS, 1ª FASE, NIVEL IV: https://www.concursoprimavera.es/#problemas

Puede proponerse a los alumnos de 3º de ESO en adelante. Es una aplicación más del teorema de Tales, que permite relacionar las razones de proporcionalidad entre longitudes y áreas.

Problema
Las rectas paralelas r y s son también paralelas al lado AB del triángulo ABC de la figura. Si las zonas sombreadas tienen igual área y CD/DA = 4, ¿cuál es el valor de CE/EA?

Solución.

Geometría (221). Proporción (áreas)

Foto: Carmen García Matas (Daimús, Valencia)

Problema propuesto en XXI CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS, 1ª FASE, NIVEL IV: https://www.concursoprimavera.es/#problemas

Este problema se planteó a los alumnos de bachillerato, pero puede resolverse con los conocimientos de 2º de ESO. Se necesita conocer el teorema de Tales y la fórmula del área de un triángulo.

Por lo dicho, es un ejercicio fácil; apropiado para los alumnos de 2º de ESO.

Problema
Los puntos A, B y C de la figura dividen a cada lado del triángulo MNP en dos trozos que están en la relación 1 : 3. ¿Qué fracción del área del triángulo está sombreada?

Solución.

Geometría (220). Proporción (longitudes)

Foto: Cristina Martínez García (Tenerife, el Teide)

Problema propuesto en XXI CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS, 1ª FASE, NIVEL IV: https://www.concursoprimavera.es/#problemas

Aunque este problema se planteó a los alumnos de bachillerato puede resolverse con los conocimientos de 2º de ESO, pues prácticamente solo hay que conocer el concepto de proporción y el cálculo de las soluciones de la ecuación de segundo grado.

Por lo dicho, es un ejercicio fácil; apropiado para los alumnos de 2º de ESO.

Problema
El rectángulo de la figura está dividido en dos cuadrados y un rectángulo pequeño. Si el rectángulo pequeño es semejante al rectángulo original y el lado de cada cuadrado es 1, ¿cuál es la longitud del lado largo del rectángulo original?

Solución.

Geometría (219). Trapecio

Foto: Carmen Martínez García (Atardecer sobre el Mediterráneo)

Problema extraído del libro “Problemas de Matemáticas Elementales”, V. B. Lidski y otros, Editorial Mir 1978.

Se resuelve viendo relaciones de semejanza de triángulos, que habrá que dibujar. La propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia también podría necesitarse.

Puede proponerse a los alumnos de 3º de ESO y más.

Problema
En el trapecio ABCD la suma de los ángulos de la base AD vale 90º. Demuestra que el segmento MN, que une los puntos medios de las bases, es igual a la mitad de la diferencia de las longitudes de esas bases.

Solución.

Geometría (218). Área de triángulo

Foto: José María Martínez García (Vancouver, Canadá)

Otro problema extraído de la XXIX Olimpiadas Costarricense de Matemáticas (año 2017):
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/OLCOMA2019/XXIX%20OCM%202017.pdf

Es un problema fácil. Puede plantearse a los alumnos más jóvenes. Desde 2º de ESO.
Para resolverlo hay que aplicar los teoremas de Pitágoras y de Tales.

Problema
El triángulo ABC es isósceles cuyos lados iguales miden 8 cm cada uno. Si la mediatriz de uno de los lados corta al otro en la proporción 1 a 3, ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?

Solución.

Geometría (217). Bisectriz doble

Foto: Antonio Martínez García (Bayona, Galicia)

El problema que sigue debería ser relativamente fácil para los alumnos de 3º de ESO en adelante.
Para su resolución será necesario aplicar cuestiones relacionadas con:
1. La circunferencia circunscrita a un triángulo, en este caso rectángulo.
2. Semejanza de triángulos.

Problema
Desde el ángulo recto de un triángulo rectángulo se trazan la altura, la bisectriz y la mediana. Demostrar que la bisectriz divide en dos partes iguales al ángulo que determinan la altura y la mediana. (La bisectriz inicial es también bisectriz del ángulo que forman la altura y mediana).

Solución.