Geometría (216). Ángulos (II)

Foto: Carmen Martínez García (Pasajes de San Juan)

Problema extraído de la XXIX Olimpiadas Costarricense de Matemáticas (año 2017):
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/OLCOMA2019/XXIX%20OCM%202017.pdf

Es un problema fácil; apropiado para los alumnos más jóvenes. Desde 1º de ESO.

Para resolverlo basta con conocer que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º y otras cuestiones básicas de Geometría.

Problema
En la estrella de cinco puntas de la figura se dan las medidas de algunos ángulos.
a)    ¿Cuánto mide el ángulo A?
b)   ¿Cuánto vale la suma de los ángulos C y E?

Solución.

Geometría (215). Ángulos

Foto: Caty Martínez García. (Nacimiento del Ebro, Reinosa)

Problema extraído de la XXIX Olimpiadas Costarricense de Matemáticas (año 2017):
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/OLCOMA2019/XXIX%20OCM%202017.pdf

Es un problema fácil; pueden hacerlos los alumnos más jóvenes. Desde 1º de ESO.
Para resolverlos basta con conocer que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º y otras cuestiones básicas de Geometría.

Problema
El triángulo ABC es rectángulo en C. Los segmentos AP y AR tienen la misma longitud; y lo mismo pasa con PB y QB, son iguales: PB = QB. ¿Cuánto mide el ángulo RPQ?

Solución.

Geometría (214). Circunferencias

Foto: Cristina Martínez García

El problema que se planteará a continuación no es fácil, pues requiere la coordinación y uso adecuado de mediatrices, bisectrices y alturas; y algo de trigonometría. Para su resolución será necesario aplicar cuestiones relacionadas con:
1. Las propiedades del circuncentro y del incentro; y cómo se hallan.
2. Diversas formas de calcular el área de un triángulo.
3. La propiedad de los ángulos inscritos.
4. El coseno de un ángulo.

Podría plantearse a estudiantes de bachillerato que tengan afición por la Geometría. También puede ser un pequeño reto para universitarios y profesores

Problema
Demostrar que en un triángulo acutángulo se cumple que “la suma de las distancias del circuncentro a los lados es igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita”.

Solución.

Geometría (213). Paralelogramo

Foto: José María Martínez Garcia. (Gran Cañon, Arizona)

El problema que sigue es relativamente sencillo. Puede hacerse aplicando el teorema de Pitágoras si se hace alguna construcción auxiliar; por tanto, es asequible a todos los alumnos de secundaria. También puede hacerse directamente con ayuda de la trigonometría.

Problema
En el paralelogramo ABCD uno de los lados mide la mitad que el otro. Calcula su área si se conoce la amplitud del ángulo ABC y la medida de su diagonal mayor, como se indica en el dibujo.

Solución.

Geometría (212). Ángulos

Foto: Cristina Martínez García (Embalse de El Atazar, Madrid)

Los problemas que se plantean a continuación están extraídos de la XXIX Olimpiadas Costarricense de Matemáticas (año 2017):
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/OLCOMA2019/XXIX%20OCM%202017.pdf

Animo al lector a que visite la página web indicada. Allí encontrará bastantes ejercicios interesantes, algunos de los cuales, espero, serán propuestos en este sitio a lo largo de este verano de 2020.
En este post propondré dos muy sencillos. Para resolverlos basta con conocer que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º y otras cuestiones básicas de Geometría.

Problema 1
Si los triángulos ACD y CDB son isósceles, ¿cuánto mide el ángulo alfa?

Problema 2
En la figura adjunta se indica en función de x la medida de algunos ángulos. ¿Cuánto mide el ángulo alfa?

Soluciones

Geometría (211). Triángulos equiláteros

Foto: Pilar Santos Martínez (Sierra de Madrid)

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la “Societat d'Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana Al-Khwarizmi”. En concreto, de la Fase Castelló de 2011: https://www.semcv.org/fasecastello/problemes-olimpiades

Es un problema muy sencillo que puede proponerse a los alumnos de cualquier nivel de secundaria.
Para resolverlo solo se necesita conocer algunas propiedades de los triángulos: lados, ángulos. También se precisa conocer los criterios de semejanza de triángulos.

Problema
Dados los triángulos ABC y CDE equiláteros de lados 1 y 1/2, respectivamente.
Demostrar que:
a) El triángulo DEC es isósceles.                b) El triángulo ACD es rectángulo.

Solución.

Geometría (210). Triángulo isósceles (IV)

Foto: Carmen García Matas (embalse de El Atazar, Madrid)

Cuarto problema de esta serie de triángulos isósceles. El método de resolución es similar al empleado en los posts precedentes: “Geometría (207), (208) y (209)”.
No debe recurrirse a la trigonometría; aunque podría utilizarse para comprobar la veracidad de los resultados.
Hay que construir triángulos semejantes, aplicar Tales y Pitágoras; y operar las expresiones  algebraicas con fluidez.

Puede proponerse a alumnos de 4º de ESO en adelante.

Problema 4
Sea un triángulo isósceles de lados a, b y b, y ángulo A = 40. Demuestra que se cumple la relación que se indica.

Solución.

Geometría (209). Triángulo isósceles (III)

Foto: Cristina Martínez García. Embalse de El Villar (Madrid)

Tercer problema de esta serie de triángulos isósceles. El método de resolución es similar al empleado en el post anterior “Geometría (207)”.
No debe recurrirse a la trigonometría; aunque podría utilizarse para comprobar la veracidad de los resultados.
Hay que construir triángulos semejantes, aplicar Tales y Pitágoras; y operar las expresiones  algebraicas con fluidez.

Puede proponerse a alumnos de 4º de ESO en adelante.

Problema 3
Sea un triángulo isósceles de lados a, b y b, y ángulo A = 80º. Demuestra que se cumple la relación indicada.

Solución.