Geometría (91). Sin huecos

Foto: Ángela García Matas (Rocamadoure, Francia)

IX CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS, 2ª Fase, Nivel III, 2005
Problemas-2005-fase2-nivel3.pdf

El problema que se propone en este post trata de polígonos regulares. Para resolverlo solo es necesario conocer las medidas de sus ángulos en función del número de lados: conocer su fórmula o deducirlo en cada caso.
Aunque sea un problema sencillo no deja de ser curioso. De hecho, pienso que solo hay cuatro casos que presentan solución. Aquí se da resuelto el caso de m = 4; y se pide resolverlo para m = 10. (Como digo, pienso que solo hay otros dos polígonos regulares interiores para los que puede encontrarse solución. Si algún lector se anima, puede intentar buscarlos).

Problema
Rodeamos un polígono regular de m lados por m polígonos regulares de n lados cada uno, sin que haya huecos ni  superposiciones. (En la figura que te mostramos, m = 4 y n = 8). ¿Cuánto vale n si m = 10?

Solución.

Geometría (90). Relación

Foto: Carmen García Matas (Sevilla)

VII CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS, 2ª Fase, 2003
Problemas-2003-fase2-nivel4%20(1).pdf

El problema que sigue es relativamente sencillo. Se propuso a estudiantes de bachillerato, pero puede hacerlo cualquier alumno de ESO, al menos a partir de 3º. Se necesita conocer los teoremas de Tales y de Pitágoras.

Problema
En el triángulo rectángulo, PQR la hipotenusa PR está dividida en tres trozos iguales por los puntos S y T. Si QS^2 + QT^2 = k·PR^2 , ¿cuánto vale k? 

Solución.

Navidad 2016

Foto: Inés Ca Rodríguez. (Belén del IES Complutense)

Más allá de la geometría.

A todos mis amigos amantes de la Geometría:

FELIZ NAVIDAD Y UN NUEVO AÑO LLENO DE ALEGRÍA

San Juan de la Cruz, Romances.
http://www.mercaba.org/DOCTORES/JUAN-CRUZ/poesias.htm

Ya que era llegado el tiempo
en que de nacer había,
así como desposado
de su tálamo salía
abrazado con su esposa,
que en sus brazos la traía,
al cual la graciosa Madre
en un pesebre ponía,
entre unos animales
que a la sazón allí había.
Los hombres decían cantares,
los ángeles melodía,
festejando el desposorio
que entre tales dos había.
Pero Dios en el pesebre
allí lloraba y gemía,
que eran joyas que la esposa
al desposorio traía.
Y la Madre estaba en pasmo
de que tal trueque veía:
el llanto del hombre en Dios,
y en el hombre la alegría,
lo cual del uno y del otro
tan ajeno ser solía.

Geometría (88). Área

Foto: Adina Marín (Sevilla)

Societat d'Educació Matemàtica Al-Khwarizmi

Olimpiada Matemática 2011. Fase provincial. Categoría 14–16 años.

Problema
Se tiene un hexágono regular de 12 cm de lado. ¿Cuánto mide la superficie de la región sombreada?

Solución.

Geometría (87). Áreas

Foto: Eugenio Martín Miranda. (Castro de La Guardia)

Societat d'Educació Matemàtica Al-Khwarizmi
http://www.semcv.org/fasevalencia/olimpiades-anteriors-valencia/201-olim2011xativa

El problema que sigue fue propuesto en 2011 en la fase valenciana de la XXII Olimpiada Matemática, a los alumnos de 3º y 4º de ESO. Aunque no es un problema difícil requiere cierto manejo de las propiedades de los hexágonos regulares: lados, ángulos,…Su resolución puede ayudar a consolidar el manejo de expresiones con radicales.

Problema
El lado de los hexágonos interiores mide 3 cm, ¿cuánto mide la superficie de las regiones sombreadas?

Solución.

Geometría (86). Recortando

Foto: Antonio Martínez García (Montejo de la Vega, buitreras)

Olimpiada matemática Thales
http://thales.cica.es/olimpiada2//?q=node/181

Los problemas que siguen, aunque con un enunciado diferente, se propusieron en la Olimpiada matemáticas Thales (VII y IX OMT: Provincial 1). Ambos son sencillos. El cambio de enunciado consiste en proponer que se resuelvan sin aplicar fórmulas; pediré que se resuelvan recortando adecuadamente las figuras.

Problema 1
La figura de abajo está formada por tres cuadrados y dos triángulos isósceles. Si la superficie del cuadrado pequeño es a, ¿cuánto mide la superficie de toda la figura?

Problema 2
Dos cuadrados iguales en el plano (de lado x) se mueven de modo que uno de los vértices de uno de ellos es el centro del otro cuadrado. ¿Qué fracción del área del cuadrado corresponde a la superficie sombreada?

Soluciones.

Geometría (85). Monedas

Foto: Antonio Martínez García (Montejo de la Vega)

OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI (2º curso de E.S.O. Primera Fase 13–III–2015)
http://www.berritzegunenagusia.eus/mateolinpiada/markoa_c.htm

El problema que sigue es sencillo. Se propuso a los alumnos de 2º de ESO en la Olimpada Matemática de Euskadi.
Para su resolución solo se necesita conocer el teorema de Pitágoras y un par de fórmula para el cálculo de áreas de figuras planas.

Problema
Dentro de un rectángulo cuya largura es de 6 cm metemos 6 monedas iguales como se ve en la figura. ¿Cuánto mide el área sombreada?.
(Te puede servir de ayuda el triángulo punteado).

Solución.

Geometría (84). Estrella

Foto: José Mª Martínez García (Desierto de Arabia)

OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI (2º curso de E.S.O. Fase Final 14–V–2016)
http://www.berritzegunenagusia.eus/mateolinpiada/markoa_c.htm

El problema que se propone en este post es relativamente sencillo y tiene la ventaja de que puede ser atractivo para los alumnos jóvenes: puede ser apropiado a partir de 2º de ESO.
Para su resolución se necesita conocer las siguientes cuestiones:
1. La suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
2.Valor de cada ángulo cuando el polígono es regular.
3. Relación entre el número de lados de un polígono regular y el valor de cada ángulo.
Y lo imprescindible, como siempre, deseo de resolver el problema.
Observación: En el post “Geometría (44)” de este Blog ya se hizo un problema similar.

Problema
Elena  quiere hacer  una pulsera usando como única componente una estrella regular de cinco puntas. Colocándolas como se ve ve en la figura, ¿cuántas serán necesarias para completar la pulsera? Justifica la respuesta.

Solución.