Geometría (317). Radio

Foto: Carmen Martínez García (Mancha Real, Jaén)

El problema que sigue se propuso en el XXI Concurso de Primavera de Matemáticas (1ª Fase, nivel IV):
ttps://www.concursoprimavera.es/#problemas.

Aunque se propuso a estudiantes de Bachillerato puede plantearse a alumnos más jóvenes, de 13 o 14 años. Para su resolución hay que conocer la propiedad que cumplen los radios de dos circunferencias tangentes, y aplicar el teorema de Pitágoras.

Problema
El dibujo muestra un cuarto de circunferencia de radio 2 y dos semicircunferencias tangentes. ¿Cuál es el radio de la semicircunferencia pequeña?

Solución.

Geometría (316). Octógono

Foto: MIguel Quintero Goicoechea (Desde Tailandia)

Se trata de un problema fácil, siempre que se vea geométricamente.
Si visualmente no se encuentra la solución se necesitará aplicar Pitágoras. En este caso, la solución sigue siendo fácil, aunque resulta más engorrosa. (Aplicando Pitágoras podría proponerse como ejercicio encontrar el lado del octógono).

Problema
La parte sombreada del octógono regular tiene área 50. ¿Cuánto mide el área del octógono?

Solución.

Geometría (315). Lado y área

Foto: José María Martínez García (en Chipre)

Para resolver el problema que sigue deben conocerse, y saber aplicar, los teoremas de Tales y Pitágoras.

Problema
En el triángulo ABC, se tiene que AB = 15 y AC = 13. Sobre AB y AC se toman los puntos D y E, respectivamente, tales que AD = 5 y AE = 4. Si el área del triángulo ADE vale 8, halla la longitud del lado BC y el área del cuadrilátero DBCE.

Solución.

Geometría (314). Lado AB

Foto: Antonio Martínez García (Río Li en Guilin, China)

Problema extraído de la XXIX Olimpiadas Costarricense de Matemáticas (año 2017):
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/OLCOMA2019/XXIX%20OCM%202017.pdf

Aunque se trata de un problema fácil, tiene el inconveniente de que los alumnos no suelen conocer la propiedad del baricentro (punto de corte de las medianas).
El problema original se propone sin el dibujo que se da aquí. Pienso que es más interesante plantearlo sin dibujo y pedir a los estudiantes que lo hagan.

Problema
En el triángulo ABC, las medianas desde A y B se cortan perpendicularmente. Si AC = 7 y BC = 6, ¿cuánto vale AB?

Solución.

Geometría 313. Área.

Foto: Alejandro Gresa Lliso

Problema extraído de la XXIX Olimpiadas Costarricense de Matemáticas (año 2017):
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/OLCOMA2019/XXIX%20OCM%202017.pdf

Es un problema fácil, apropiado para alumnos de secundaria. Para resolverlo hay que conocer los teoremas de Pitágoras y Tales.

Problema
Los triángulos ABC y ABD son rectángulos en A y en D, respectivamente. Conociendo las medidas que se dan, ¿cuánto mide el área del triángulo sombreado?

Solución.

Geometría (312). Trapecio 3

Foto: Carmen García Matas (Gaviotas en Daimuz, Valencia)

Otro problema de trapecios (aunque el resultado es común para cualquier cuadrilátero). Su resolución es asequible para los alumnos de 3º y 4º de ESO.

Problema
Sean P, Q, R y S los puntos medios de los lados del trapecio ABCD. Si el área del cuadrilátero PQRS vale 5, ¿cuál es el área del trapecio?

- Con los mismos datos resuelve el problema en el caso de que ABCD sea un cuadrilátero cualquiera (no un trapecio).

Solución.

Geometría (311). Trapecio 2

Foto: Jorge Santos (Capela dos Santos Reis, Pontevedra)

El problema que sigue se propuso en el XXXIV Concurso “Puig Adam”. (Nivel II, 4º de ESO)
https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-81199/2016_problemas.pdf
Su resolución es asequible para los alumnos de 3º y 4º de ESO.

Problema
En el trapecio ABCD de la figura siguiente se verifica que el cociente entre las longitudes de las bases es BC/AD = 5/7. Los puntos E y F están en los lados CD y DA respectivamente y verifican que CE/ED = 2/3, AF/FD = 4/3. Si el área del cuadrilátero ABFE es 123, calcula el área del trapecio.

Solución.

Geometría (310). Trapecio

Foto: Antonio Martínez García (Chefchaouen, Marruecos)

El problema que sigue se propuso en LII Olimpiada Matemática Española (Comunidad de Madrid, Fase cero): https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-81216/LII_OME_Madrid_1_Sesion.pdf
Es un problema asequible para los alumnos más jóvenes.

Problema
En el trapecio rectángulo PQRS trazamos las diagonales, siendo 5 y 10 las áreas de dos de los triángulos que determinan, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área del trapecio?

Solución.