Geometría (262). Triangulación (10)

Foto: José María Martínez García (Chester, Inglaterra).

Este post puede entenderse como una introducción a las Particiones de Tipo IV, que estudian las posibles soluciones de partición de un triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles cuando los puntos D, E y F se toman cada uno en un lado del triángulo.
(El estudio completo del problema está disponible en esta web).

Problema
Demuestra que la partición del triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles, tal y como se muestra en la figura que sigue, es posible para cualquier valor del ángulo x. (Los triángulos DBF, CDF, ECF y AEF son isósceles en D, D, E y E, respectivamente).
Indica cómo podría dibujarse la partición utilizando regla y compás.

Solución.

Navidad 2021

Foto: Siân Williams (St. Ann´s, Manchester).

En Belén nace la esperanza.
Con ella caminaremos alegres.

Feliz Navidad

Geometría (261). Cociente de áreas

Foto: Carmen Martínez García (Loarre, Huesca)

Problemas propuestos en el Concurso de Primavera 2020. (Nivel IV, Bachillerato).
https://www.concursoprimavera.es/#concurso

Se trata de un problema relativamente sencillo que puede abordarse utilizando técnicas de dibujo lineal. Aunque se propuso a los alumnos de Bachillerato también lo pueden resolver alumnos más jóvenes.

Problema
En la siguiente figura, el lado de los triángulos equiláteros es doble del lado el hexágono regular central. ¿Cuánto vale el cociente entre el área sombreada y el área en blanco?

Solución.

Geometría (260). Triangulación (9)

Foto: Antonio Martínez García, Berlín

Este post se dedica a las Particiones de Tipo III (b).
(El estudio completo del problema está disponible en esta web).

En estos casos se imponen las siguientes condiciones:
1) El vértice singular (1) = 90º: el primer triángulo isósceles es rectángulo con vértice singular en C.
2) El punto D está en la hipotenusa; los puntos E y F sobre el cateto AC.
Por tanto, se forman los triángulos BCE, DBE, DEF y ADF.

Pueden presentarse 27 casos, que se obtienen al ir variando la posición de los vértices singulares (2), (3) y (4), cada uno de ellos con tres opciones posibles. Sus referencias van desde T190 a T216.
Aquí se plantean solo 9 de esos casos, cuando los triángulos BCE y DBE son isósceles en C y B, respectivamente.
Con la expresión “vértice singular” designo el ángulo desigual de cada triángulo isósceles, el vértice del que parten sus dos lados iguales. Esos ángulos los denotaré con números: (1), (2), (3) y (4); los demás ángulos se indican con las letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Demuestra que la partición del triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles, tal y como se muestra en la figura que sigue (aunque el dibujo está mal hecho), es posible para dos valores distintos del ángulo x. (Los triángulos BCE y DBE son isósceles en C y B, respectivamente; en los otros dos triángulos debes determinar la posición del ángulo singular).
Indica cómo podría dibujarse la partición utilizando regla y compás.

Solución.

Geometría (259). Construir...

Foto: Cristina Martínez García (Alarilla, Guadalajara)

El problema que se plantea a continuación no es sencillo, pues, aunque no requiere conocimientos especiales de Geometría, es preciso manejar con cierta soltura los conceptos de mediana y altura de un triángulo, y saber deducir relaciones geométricas de ambos conceptos.

Puede ser un reto interesante para profesores y estudiantes de Matemáticas.

Problema
Construye un triángulo ABC conociendo las alturas hA y hB, desde A y B, y la mediana mA desde el vértice A. (En la figura se ha dibujado ABC para hA = 4, hB = 3,6 y mA = 5).

Solución.

Geometría (258). Triangulación (8)

Foto: Caty Martínez García.

Primera entrada sobre las Particiones de Tipo III. En todos los casos el vértice singular (1) = 90º. Esto es, el primer triángulo isósceles es rectángulo con vértice singular en C.
Los nuevos vértices, puntos D, E y F, se elegirán en la hipotenusa AB y sobre el cateto AC.
Como ya se ha indicado el estudio completo del problema está disponible en esta web.

Este post se dedica a las Particiones de Tipo III (a): Se toman los puntos D y F en la hipotenusa; el tercer punto, E, se coloca sobre el cateto AC. Así se forman los triángulos: BCE, DBE, DEF y AFE.

Como viene siendo habitual, con la expresión “vértice singular” designo el ángulo desigual de cada triángulo isósceles, el vértice del que parten sus dos lados iguales. Esos ángulos los denotaré con números (1), (2), (3) y (4). Los demás ángulos se indican con letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Demuestra que la partición del triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles, tal y como se muestra en la figura que sigue (aunque el dibujo está mal hecho), es posible para tres valores distintos del ángulo x. (Los triángulos BCE y DBE son isósceles en C y D, respectivamente; en los otros dos triángulos debes determinar la posición del ángulo singular).
Indica cómo podría dibujarse la partición utilizando regla y compás.

Solución.

Geometría (257). Áreas

Foto: Antonio Martínez García (Ruínas de la ermita de Valdeherreros, Milagros, Burgos),

Problemas propuestos en el Concurso de Primavera 2020. (Nivel III, 3º y 4º de ESO).
https://www.concursoprimavera.es/#concurso

Se trata de dos problemas relativamente sencillos que pueden abordarse utilizando el teorema de Pitágoras y técnicas de dibujo lineal.

Problemas

Solución.

Geometría (256). Triangulación (7)

Foto: Carmen García Matas (laberinto “El Capricho”, Madrid)

Continúo con otra propuesta en relación con la

PARTICIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN 4 TRIÁNGULOS ISÓSCELES

El estudio completo del problema está disponible en esta web. En este post solo se propondrá un caso particular.
Aquí se toma el punto D en la hipotenusa AB, y los puntos E y F sobre el cateto AC. Además, en C se sitúan dos vértices, uno de ellos el singular (1).
Como viene siendo habitual, con la expresión “vértice singular” designo el ángulo desigual de cada triángulo isósceles, el vértice del que parten sus dos lados iguales. Esos ángulos los denotaré con números (1), (2), (3) y (4). Los demás ángulos se indican con letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Demuestra que la partición del triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles, tal y como se muestra en la figura que sigue, es posible para cualquier valor del ángulo x. (Los triángulos BCD, DCE, DEF y ADF son isósceles en D, E, D y F, respectivamente).
Indica cómo podría dibujarse la partición utilizando regla y compás

Nota: Si te encuentras con ánimos puedes estudiar todos los casos (son 9) que se presentan imponiendo que los ángulos singulares (1) y (2) estén en D y en E, mientras que (3) y (4) pueden situarse en cualquier otro de los vértices posibles. Hay tres soluciones más.

Solución.