Geometría (255). Media geométrica

Foto: Siân Williams, Anglesey

Hago otro alto en los ejercicios de PARTICIÓN DE UN TRIÁNGULO …

No obstante, aquí sigo con un triángulo también rectángulo. En el enunciado se habla de mediana y de media geométrica. Recuerdo los conceptos:
La mediana de un triángulo es cada uno de los segmentos que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
La media geométrica de dos magnitudes es la raíz cuadrada de su producto. Esto es: m es la media geométrica de a y b si a · b = m · m. O también: si a/m = m/b.

Aunque no se trata de un problema difícil se requiere algo de ingenio: tienes que plantearte el cálculo del área del triángulo de dos formas distintas; y saber que la circunferencia circunscrita a triángulo rectángulo tiene la hipotenusa como diámetro.

Problema
Dibuja un triángulo rectángulo tal que la mediana trazada desde la hipotenusa sea media geométrica de los dos catetos del triángulo. ¿Cuánto mide el ángulo más pequeño de ese triángulo?

Solución.

Geometría (254). Triangulación (6)

Foto: Carmen Martínez García, Pirineos.

Continúo con otra propuesta en relación con la

PARTICIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN 4 TRIÁNGULOS ISÓSCELES

El estudio completo del problema ya está disponible en esta web, aunque en este post solo se propondrá un caso particular.

Aquí se toma el punto D en la hipotenusa AB, y los puntos E y F sobre el cateto AC. Además, en C se sitúan dos vértices, uno de ellos el singular (1).  

Como viene siendo habitual, con la expresión “vértice singular” designo el ángulo desigual de cada triángulo isósceles, el vértice del que parten sus dos lados iguales. Esos ángulos los denotaré con números (1), (2), (3) y (4). Los demás ángulos se indican con letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Demuestra que la partición del triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles, tal y como se muestra en la figura que sigue, es posible para cualquier valor del ángulo x. (Los triángulos BCD, DCE, DEF y ADF son isósceles en C, E, E y F, respectivamente).
Indica cómo podría dibujarse la partición utilizando regla y compás.

Nota: Si te encuentras con ánimos puedes estudiar todos los casos (son 9) que se presentan imponiendo que los ángulos singulares (1) y (2) estén en C y en E, mientras que (3) y (4) pueden situarse en cualquier otro de los vértices posibles. Hay cuatro soluciones más.

Solución.

Geometría (253). Triangulación (5)

Foto: José María Martínez García (Gales, Bewts y Code)

Continúo con otra propuesta en relación con la

PARTICIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN 4 TRIÁNGULOS ISÓSCELES

El estudio completo del problema ya está disponible en esta web, aunque en este post solo se propondrán unos cuantos casos.
En concreto, en el triángulo ABC, rectángulo en C, se elegirá el punto D en la hipotenusa y los puntos E y F sobre el cateto AC. Además, en C se sitúan los vértices singulares (1) y (2).
Como viene siendo habitual, con la expresión “vértice singular” designo el ángulo desigual de cada triángulo isósceles, el vértice del que parten sus dos lados iguales. Esos ángulos los denotaré con números (1), (2), (3) y (4). Los demás ángulos se indican con letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Demuestra que la partición del triángulo rectángulo ABC, que se muestra en la figura que sigue, solo pude hacerse para un valor del ángulo x. (Los triángulos BCD, DCE, DEF y ADF deben ser todos isósceles).
Una vez encontrada la solución, indica cómo podría dibujarse la partición utilizando regla y compás.

Solución.

Geometría (252). Longitudes y áreas

Foto: Cristina Martínez García (Ribadeo, Españá)

Hago un alto en las propuestas sobre Partición de un triángulo rectángulo en 4 triángulos isósceles para plantear un problema a los alumnos más jóvenes. Se trata de dos ejercicios de longitudes y áreas, obtenidos de la Olimpiada Matemática Aragonesa en distintos años: Problemas OMA (I-XXVII).pdf - Google Drive. Pueden plantearse a alumnos de 1º y 2º de ESO.

Problema
1. (XVI OMA, 2006). En la figura de la izquierda ABC es un triángulo equilátero de 1 cm de lado. La espiral está formada por arcos de circunferencia de centros sucesivos A, B y C. Calcular la longitud de la espiral y el área de la superficie sombreada.
¿Cómo seguiríamos construyendo la espiral?

2. (XVII OMA, 2007). En la figura de la derecha, el triángulo ABC es rectángulo en B y tiene 50 cm2 de área. D es el punto medio de BC y AB = 12,5 cm. Los arcos BC y CD son semicircunferencias. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

Solución.

Geometría (251). Triangulación (4)

Foto: Carmen García Matas

PARTICIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN 4 TRIÁNGULOS ISÓSCELES

Recuerdo que se trata de dividir un triángulo ABC, rectángulo en C, en 4 triángulos isósceles. Para ello hay que buscar tres puntos D, E y F que sean vértices de los nuevos triángulos; la posición de estos puntos generará distintas soluciones. En este caso se establecen las siguientes premisas:
1) El punto D está en la hipotenusa; los puntos E y F sobre el cateto AC.
2) En el punto C (ángulo recto del triángulo dado ABC) se sitúan dos vértices.
Así se forman los triángulos: BCD, DCE, DEF y AFE.
Los vértices singulares de los nuevos triángulos se denotan por (1), (2), (3) y (4); los demás ángulos se indican con las letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Demuestra que la partición del triángulo rectángulo ABC, que se muestra en la figura que sigue, es posible para cualquier valor del ángulo x. (Los triángulos BCD, DCE, DEF y AFE, son todos isósceles).
Indica cómo podría dibujarse la partición utilizando regla y compás.

Solución.

Geometría (250). Triangulación (3)

Foto: José María Martínez García (Edimburgo, Escocia)

PARTICIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN 4 TRIÁNGULOS ISÓSCELES

Recuerdo que se trata de dividir un triángulo ABC, rectángulo en C, en 4 triángulos isósceles. Para ello hay que buscar tres puntos D, E y F que sean vértices de los nuevos triángulos; la posición de estos puntos generará distintas soluciones. En este caso se establecen las siguientes premisas:
1) Los puntos D y F están sobre la hipotenusa y el punto E sobre el cateto AC.
2) En el punto C (ángulo recto del triángulo dado ABC) se sitúan dos vértices.
Así se forman los triángulos: BCD, DCE, DEF y AFE.

Como se dijo en la entrada anterior, los vértices singulares de los nuevos triángulos se denotan por (1), (2), (3) y (4); los demás ángulos se indican con las letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. Si los cuatro triángulos (BCD, DCE, DEF y AFE) dibujados en él son isósceles, estando los vértices singulares (1) y (2) en D y C, respectivamente, ¿cuánto debe valer x para que tal partición sea posible?
Una vez encontrado el valor de x dibuja (con regla y compás) cada uno de esos triángulos.

Nota: Pueden plantearse 9 casos distintos, que se obtienen al ir cambiando la posición de los vértices singulares (3) y (4). Hay solución en 4 casos.

Solución.

Geometría (249). Triangulación (2)

Foto: Carmen Martínez García (Olite, Navarra)

PARTICIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN 4 TRIÁNGULOS ISÓSCELES

A continuación se propone una segunda entrada sobre el tema.
Recuerdo que se trata de dividir un triángulo ABC, rectángulo en C, en 4 triángulos isósceles. Para ello hay que buscar tres puntos D, E y F que sean vértices de los nuevos triángulos; la posición de estos puntos generará distintas soluciones. En este caso se establecen las siguientes premisas:
1) Los puntos D y F están sobre la hipotenusa y el punto E sobre el cateto AC.
2) En el punto C (ángulo recto del triángulo dado ABC) se sitúan dos vértices.
Así se forman los triángulos: BCD, DCE, DEF y AFE.
Como se dijo en la entrada anterior (Geometría (248)), los vértices singulares de los nuevos triángulos se denotan por (1), (2), (3) y (4); los demás ángulos se indican con las letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. Si los cuatro triángulos (BCD, DCE, DEF y AFE) dibujados en él son isósceles, estando los vértices singulares (1) y (2) en C y D, respectivamente, ¿cuánto debe valer x para que tal partición sea posible?
Una vez encontrado el valor de x dibuja (con regla y compás) cada uno de esos triángulos.

Nota: Pueden plantearse 9 casos distintos, que se obtienen al ir cambiando la posición de los vértices singulares (3) y (4). Hay solución en 3 casos.

Solución.

Geometría (248). Triangulación (1)

Foto: Catalina Martínez García (Lanzarote)

El problema que se propone a continuación es el primero de una serie que bajo el título general de

PARTICIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN 4 TRIÁNGULOS ISÓSCELES

se propondrán en las próximas semanas. No tengo determinado el número de entradas que se haré sobre el tema, pero el trabajo general en el que se estudian `todas´ las posibles soluciones se publicará en su momento.

Una partición de un conjunto es su división en subconjuntos de modo que: 1) La unión de todos los subconjuntos sea el conjunto inicial; 2) Todos los subconjuntos son disjuntos.
Aquí se aborda la partición de un triángulo ABC, rectángulo en C, en 4 triángulos isósceles. Para ello hay que encontrar otros tres puntos D, E y F sobre los lados del triángulo inicial que sean vértices de los nuevos triángulos.
Cada partición dependerá de la amplitud del ángulo A = x, y de los puntos que se elijan como “vértices singulares” en cada nuevo triángulo. (Con la expresión “vértice singular” designo el ángulo desigual de cada triángulo isósceles, el vértice del que parten sus dos lados iguales. Esos ángulos los denotaré con números: (1), (2), (3) y (4). Los demás ángulos se indican con letras griegas: alfa, beta, gamma y delta, respectivamente)ç

Problema (Caso 1)
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. Si los cuatro triángulos dibujados en él son isósceles, ¿cuánto debe valer x para que tal partición sea posible?
Una vez encontrado el valor de x dibuja (con regla y compás) cada uno de esos triángulos.

Solución.