Geometría (247). Medianas perpendiculares

Foto: Cristina Martínez García (Las Cárcavas de Patones, Madrid)

El problema que se propone en este post, aunque enunciado en términos genéricos, no es difícil. Para resolverlo hay que conocer qué son las medianas de un triángulo y qué propiedad cumple el baricentro (punto de corte de las medianas); también, como siempre que hay perpendicularidad, puede recurrirse a Pitágoras.
Puede proponerse a partir de 3º de ESO.

Observación: En el post Geometría (185) se planteó otro problema con las medianas perpendiculares. Puede ser interesante recordarlo.

Problema
Halla el tercer lado de un triángulo del que se conocen dos de sus lados a y b, sabiendo que las medianas correspondientes a estos lados se cruzan formando un ángulo recto.
Para el caso a = 4 y b = 3, ¿cuánto valdría c?

Solución.

Geometría (246). Bisectriz

Foto: José María Martínez García; Traeth Llanddwyn.

El problema que se plantea a continuación no es difícil. Solo hay que descubrir dos triángulos semejantes y aplicar la relación de proporcionalidad entre sus lados.
Como dije en el post 245, a los estudiantes más jóvenes les resultará algo complejo que el enunciado se plantee en términos genéricos, pero eso puede ayudarles a mejorar su comprensión matemática.
Puede plantearse a partir de 2º de ESO

Problema
En el triángulo rectángulo ABC, los catetos b y c son conocidos. Si la bisectriz del ángulo recto corta al lado BC en el punto P, ¿cuánto mide, en función de b y c, el segmento AP?
Para el caso b = 3 y c = 5, ¿cuánto valdría AP?

Solución.

Geometría (245). Lado

Foto: Carmen García Matas. (Palacio del Infantado, Guadalajara, España)

El problema que se plantea a continuación es un ejercicio sencillo. Solo hay que descubrir dos triángulos semejantes y aplicar la relación de proporcionalidad entre sus lados.
A los estudiantes más jóvenes les resultará algo complejo que el enunciado se plantee en términos genéricos: ¨se conocen los lados b y c”, pero no se da su medida. Tampoco se da la medida de ningún ángulo; aunque es evidente que la clave está en que un ángulo es doble que otro. Pienso que un enunciado así puede contribuir a su maduración matemática.   

Problema
En el triángulo ABC, el ángulo A es dos veces mayor que el B. Si se conocen los lados b y c, ¿cuánto vale el lado a?
Para el caso b = 4 y c = 5, ¿cuánto valdría a?

Solución.

Geometría (244). Fórmula de Herón

Foto: Antonio Martínez García; Patones, Madrid

La fórmula de Herón es “un clásico” de la Geometría. Permite hallar el área de un triángulo conociendo la longitud de sus lados. (Herón de Alejandría: siglo I d. C.)

La demostración de esta fórmula no es difícil. En Internet se puede encontrar algunas. La que se propone aquí es una más.
Se utilizan las siguientes cuestiones básicas:
1. El teorema de Pitágoras; 2. La fórmula el área de un triángulo;
3. Las conocidas como igualdades notables, en particular la igualdad “(suma) · (diferencia) = diferencia de cuadrados”. .

Problema
Demuestra la fórmula de Herón, que dice:
Si los lados de un triángulo miden a, b y c, su área S viene dada por la expresión indicada en la figura, donde p es el semiperímetro del triángulo.

Solución.

Geometría (243). Ángulo y mediana

Foto: Cristina Martínez García (Colegio de Daganzo, en Madrid)

Propuesto en la LIV Olimpiada Matemática Española (Primera Fase); 19 de enero de 2018.

Su resolución requiere algo de ingenio; aunque una vez visto resulta sencillo. Para ello, hay que saber buscar otros triángulos; y no digo más.
Puede proponerse a cualquier persona aficionada a la Geometría; quizás, a partir de 3º de ESO.

Problema
Sea AD la mediana del triángulo ABC tal que ángulo(ADB) = 45º y ángulo(ACB) = 30º. Determinar el valor del ángulo(BAD).

Solución.

Geometría (242). Corona de Polígonos

Foto: Catalina Martínez García (Catedral de San Vito, Praga)

Propuesto en la XXIX OLIMPIADA MATEMÁTICA FASE NACIONAL 2018

Este problema requiere cierto nivel de abstracción, de generalización, pues intervienen un número (m) indeterminado de polígonos regulares, cada uno de ellos con un número (n) indeterminado de lados.
Para resolverlo hay que entender claramente el enunciado (posiblemente necesites leerlo dos o tres  veces, observando la figura dada); después hay que animarse y aceptar el reto. Si estás decidido te doy tres pistas que pueden facilitarte el trabajo: 1) Hay que saber (su deducción es sencilla) cuánto mide cada uno de los ángulos internos de un polígono regular de n lados; 2) Relaciona el centro de la “estrella” interior con los lados de un polígono, forma triángulos y halla el valor de sus ángulos; 3) Los números m y n deben ser enteros positivos.

Podría proponerse a los alumnos/as de Bachillerato aficionados a la Geometría. (Para los profesores y profesoras puede ser un reto entretenido).

Problema
Un anillo simétrico está compuesto por m polígonos regulares idénticos, cada uno de n lados, de acuerdo con las siguientes reglas:
i. Cada polígono en el anillo toca exactamente a otros dos.
ii. Dos polígonos adyacentes tienen un lado común.
iii. El perímetro de la región interna (la parte encerrada por el anillo), consiste en exactamente dos lados de cada polígono del anillo.
El siguiente ejemplo muestra un anillo con m = 6 y n = 9.
¿Para qué valores de m y n son posibles anillos de este tipo?

Solución.

Geometría (241). Semicírculos

Foto: Aitor Merinero Martín (Mérida, España)

Propuesto en la XXIX OLIMPIADA MATEMÁTICA FASE NACIONAL 2018

Pienso que se trata de un problema relativamente sencillo. Debe tenerse en cuenta el número de semicírculos y la propiedad de la tangente a una circunferencia.
Dando estas pistas podría proponerse a cualquier persona aficionada a la Geometría. Los estudiantes de segundo ciclo de Secundaria, desde 3º de ESO, pueden ser buenos candidatos.

Problema
Un día, Juan y Miguel se pusieron a hacer en el suelo un patrón como el de la figura siguiente: En la figura hay 6 semicírculos iguales y tangentes unos con otros, inscritos dentro de una circunferencia grande. Si lo hicieron de forma que el radio de los semicírculos pequeños sea de 1 metro, ¿cuál será el radio de la circunferencia grande?

Solución.

Geometría (240). Área (III)

Fofo: Siân Williams (Conwy, Gales)

Enunciado extraído de la Olimpiada Matemática Asturiana del año 2016. (Prueba final individual, categoría B).

Es un problema sencillo. Para resolverlo hay que descubrir triángulos semejantes, determinar su razón de semejanza y saber calcular sus áreas.
Resulta adecuado para aficionados a la Geometría que estén familiarizados con el teorema de Tales.

Problema
Sea ABC un triángulo de área 7 cm2. Se construye el triángulo XYZ de la siguiente manera: se prolonga el lado AB de modo que AX = 2AB; se prolonga el lado BC de modo que BY = 3BC;  se prolonga el lado CA de modo que CZ = 4CA. Hallar el área del triángulo XYZ.

Solución.