Geometría (239). Ángulo (II)

Foto: José María Martínez García; Manchester

Enunciado extraído de la Olimpiada Matemática Asturiana del año 2016. (Prueba final individual, categoría A).

Es un problema sencillo que combina propiedades de la bisectriz con distintos tipos de triángulos. Puede ser interesante para los alumnos de Secundaria, desde 1º de ESO. 

Problema
Sea el triángulo ABC con A = 108º. La bisectriz de C corta al lado AB en P. La recta perpendicular al segmento CP trazada por C corta a la recta AB en el punto Q de modo que CP = CQ. Calcula la medida de los ángulos B y C.

Solución.

Geometría (238). Ángulo

Foto: Carmen García Matas (Zorita de los Canes, Guadalajara)

Enunciado extraído de la Olimpiada Matemática Asturiana del año 2017. (Prueba final individual, categoría A).

Es un problema sencillo. Puede proponerse para recordar las relaciones angulares en distintos polígonos.
Puede ser interesante para los alumnos/as de Secundaria, desde 1º de ESO.

Problema
Se tienen cuatro vértices consecutivos de un polígono regular de 10 lados, A, B, C y D. Sea P el punto interior al polígono tal que el triángulo BPC es equilátero. Calcular la medida del ángulo BPD.

Solución.

Geometría (237). Cuadrilátero (II)

Foto: Matilde Vidal Gómez de Travecedo (En el monasterio de Santa María de Sobrado de los Monjes, La Coruña)

Enunciado extraído de la Olimpiada Matemática Asturiana del año 2017. (Prueba final individual, categoría B).

No es un problema difícil. Su solución puede encontrarse teniendo en cuenta que el peso de cada trozo es proporcional a la superficie del triángulo asociado (en el supuesto de la tarta tenga el mismo espesor).
Puede proponerse a cualquier persona (estudiante o no) aficionada a la Geometría. Puede ser interesante para los alumnos de 2º de ESO.

Problema
Un pastel tiene forma de cuadrilátero. Lo partimos por sus diagonales en cuatro partes, como se indica en la figura. Yo me comí una parte, y después pesé las otras tres: un pedazo de 120 g, uno de 200 g y otro de 300 g. ¿Cuánto pesaba la parte que yo me comí?

Solución.

Geometría (236). Cuadrilátero

Foto: Carmen García Matas

Problema extraído del libro “Problemas de Matemáticas Elementales”, V. B. Lidski y otros, Editorial Mir 1978.

No es un problema inmediato, aunque una vez resuelto se vea sencillo. Para resolverlo hay que utilizar la propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia, asociada a la noción de arco capaz: el lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento con el mismo ángulo.
Puede proponerse a cualquier persona (estudiante o no) aficionada a la Geometría.

Problema
Demostrar que si en un cuadrilátero arbitrario ABCD se trazan las bisectrices internas, los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos A y C son con las bisectrices de los ángulos B y D se encuentran sobre una circunferencia.
(Como ayuda de carácter interpretativo, en el dibujo adjunto se trazan dos de esas bisectrices).

Solución.

Geometría (235). Área máxima (II)

Foto: Antonio Martínez García, Nuremberg.

Enunciado de la Actividad n. 173 del Capítulo 9 del libro Matemáticas I de SM, 2015.

El problema que se propone no es fácil; al menos a primera vista. Podría proponerse a los chicos y chicas de bachillerato que muestren interés por los retos matemáticos.
En el post anterior “Geometría (234)” se dio una solución geométrica. Aquí se pide una solución analítica, aplicando el Cálculo Diferencial.

Problema
A un rectángulo de lados a y b se le circunscribe otro rectángulo, tal y como se indica en la figura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo exterior para que tenga área máxima?

Solución.

Geometría (234). Área máxima

Foto: Cristina Martínez García, (Alarilla, Guadalajara)

(Enunciado de la Actividad n. 173 del Capítulo 9 del libro Matemáticas I de SM, 2015).
El problema que se propone no es fácil; al menos a primera vista. Podría proponerse a los chicos y chicas de bachillerato que muestren interés por los retos matemáticos; quizás emplazándolos para “la semana que viene” a encontrar su solución.
No obstante, como es frecuente en Geometría, es posible encontrar una solución rápida y sencilla. Esa es la que se dará en este post.

En el próximo post (para “la semana que viene”) se proponda el mismo problema instando a dar una solución analítica, aplicando el Cálculo Diferencial.

Problema
Un rectángulo de dimensiones a y b se inscribe en otro como indica la figura. Halla las dimensiones de este último para que su área sea máxima.

Solución.

Geometría (233). Áreas

Foto: Catalina Martínez García, Madrid.

Este problema se propuso en la XXIX Olimpiada Costarricense de Matemáticas. Edición del 2017.
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/OLCOMA2019/XXIX%20OCM%202017.pdf

Es un problema fácil. Para resolverlo hay que considerar la relación entre las bases de los distintos triángulos que intervienen.
Puede proponerse a los alumnos de 2º de ESO en adelante.

Problema
Los tres lados del triángulo ABC se prolongan una distancia igual a sus respectivas longitudes, tal como se observa en la figura. Si el área del polígono de vértices XCBY es 18, ¿cuánto valdrá el área del triángulo XYZ?

Solución.

Geometría (232). Flor Matemática

Foto: Miguel Quintero (Granada: La Alhambra)

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas. (http://scmpm.blogspot.com/)

XXIX Olimpiada de Albacete
http://scmpm.blogspot.com/p/problemas-de-la-olimpiada-matematica.html#Fácil
Segunda Fase: F.2 (14/16) Problema 1. FLOR MATEMÁTICA

No es un problema difícil, aunque requiere cierto ingenio para su resolución simple.
La solución no ingeniosa es bastante engorrosa: habría que calcular la superficie de cada “pétalo” y de cada “triángulo” curvilíneo. Pienso que tiene un grado de dificultad aceptable para los alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
Calcula el área sombreada en esta figura formada por la superposición de siete círculos de radio 1.

Solución.