Geometría (278). Con regla y compás

Foto: Carmen Martínez García (Camino de Santiago)

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas:
http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.

Para resolverlo hay que tener alguna idea brillante, aunque nada especial cuando se ha visto. Pienso que es un reto apropiado para gente que no se rinde a la primera.

Problema
En un plano se dan cuatro puntos fijos A, B, C y D no alineados tres a tres. Construir un cuadrado cuyos lados a, b, c y d sean segmentos a los que pertenezcan respectivamente A, B, C y D.

Solución.

Geometría (277). Punto

Foto: Antonio Martínez García, Santiago de Compostela.

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas:
http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.

Problema  
En el plano, dada una recta r y dos puntos A y B exteriores a la recta, y en el mismo semiplano, se pide determinar un punto M de la recta, tal que el ángulo de r con AM sea doble del de r con BM.

Solución:

Geometría (276). Cuerda

Foto: Catalina Martínez García, Oporto

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas: http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.

“La idea central de esta página es proporcionar a alumnos y profesores un material básico de problemas para preparación olímpica. Pensamos que puede ser especialmente útil a los que comienzan en estas tareas”.
Pienso que tiene un grado de dificultad aceptable para los alumnos de 4º de ESO en adelante. Requiere cierta habilidad para obtener triángulos en posición de Tales (en el caso a) y aplicar el teorema de Pitágoras, en el caso b).

Problema
En una circunferencia de radio 1 se trazan dos cuerdas AB y AC de igual longitud.
a) Construir la cuerda DE que queda dividida en tres partes iguales por sus cortes con AB y AC.
b) ¿Cuánto valen los dos segmentos en que queda dividida AB, cuando AB abarca un arco de 90º?

Solución.

Geometría (275). Áreas

Foto: Cristina Martínez García. Lisboa

Los problemas que siguen se propusieron en las XXIX y XXX Olimpiadas de Albacete.

Problema 1: http://scmpm.blogspot.com/p/problemas-de-la-olimpiada-matematica.html#Fácil
Problema 2. http://scmpm.blogspot.com/p/problemas-de-la-olimpiada-matematica.html#F%C3%A1cil

Ambos problemas son fáciles, adecuados para los alumnos más jóvenes de Secundaria. Para su resolución solo hay que conocer cuestiones básicas de proporcionalidad y la fórmula de las áreas de un cuadrado y de un triángulo.

Problema 1. Podrías decir qué fracción del cuadrado representa el triángulo sombreado. (Figura izquierda).
Problema 2. En el triángulo ABC se han dibujado las medianas BD y CE que se intersectan en G. Demostrar que el triángulo BCG y el cuadrilátero AEGD tiene la misma área. (Figura derecha).

Solución.

Geometría (274). Área

Foto: José Luis Quintero, en Alcalá de Henares.

El problema que sigue se propuso en la LVIII OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, Comunidad de Madrid, FASE CERO: https://www.ucm.es/sociedadpuigadam/file/fase-cero-58-ome-madrid

Puede proponerse a los alumnos más jóvenes de Secundaria: es sencillo. Para su resolución solo hay que conocer el teorema de Pitágoras y la fórmula de las áreas de un círculo y de un cuadrado.

Solución.

Geometría (273). Áreas

Foto: José María Martínez García; río Tajo desde Recópolis

Los dos problemas que se plantean a continuación se propusieron en la LVIII OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, Comunidad de Madrid, FASE CERO:
https://www.ucm.es/sociedadpuigadam/file/fase-cero-58-ome-madrid

Pueden proponerse a los alumnos más jóvenes de Secundaria: son sencillos. Para su resolución hay que conocer cuestiones básicas de semejanza de triángulos, el teorema de Pitágoras y resolver un sistema de 2 ecuaciones lineales.

Problemas

Solución.

Geometría (272). Con regla y compás

Foto: Antonio Martínez García (Pompeya)

El problema que se plantea a continuación no es sencillo. Para su resolución hay que emplear la noción de arco capaz y las propiedades de los ángulos inscritos en una circunferencia. Además, conviene partir de la suposición de que el problema está resuelto.

Problema
Dados tres puntos A, B, C en una circunferencia, encontrar un cuarto punto D, sobre la misma circunferencia, de manera que en el cuadrilátero ABCD pueda inscribirse otra circunferencia.

Solución.

Geometría (271). En un trapecio

Foto: Carmen Martínez García

Este problema se ha obtenido del libro “Problemas de Matemáticas Elementales”, V. B. Lidski y otros, Editorial Mir 1978. (En ese libro hay una buena colección de problemas de Geometría de dificultad muy dispar; alguno de ellos se ha propuesto ya en este blog, procurando adaptarlos a los conocimientos de los estudiantes de secundaria). 

Creo que es un problema fácil; para su resolución solo hay que descubrir triángulos semejantes. Podría recomendarse a los alumnos de 2º de ESO en adelante.

Problema
Demostrar que la recta que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio pasa por el punto de intersección de las diagonales.

Solución.