Geometría (270). Distancia entre centros

Foto: Carmen García Matas (Mediterráneo en Daimús, marzo 2022)

El problema que se plantea a continuación no es sencillo. Para resolverlo, además de conocer las propiedades relacionadas con las circunferencias inscrita y circunscrita, hay que encontrar triángulos (rectángulos) semejantes y establecer las proporciones adecuadas.
Otra pista importante es que hay que encontrar un triángulo isósceles con un vértice en el incentro.

Problema
En el triángulo isósceles ABC se trazan sus circunferencias circunscrita e inscrita, cuyos radios miden r1 y r2, respectivamente. Demuestra que la distancia, d, entre los centros de ambas circunferencias es la que se indica en la figura. .

Solución.

Geometría (269). Áreas

Foto: José María Martínez García (antigua fábrica de ladrillos, Gales)

Problemas propuestos en el Concurso de Primavera de Matemáticas. (Nivel IV, Bachillerato). https://www.concursoprimavera.es/#concurso

 Se trata de dos problemas relativamente sencillos que pueden abordarse utilizando técnicas de dibujo lineal. Aunque se propuso a los alumnos de Bachillerato también lo pueden resolver alumnos más jóvenes.

Problemas
1. (XXI Concurso de Primavera de Matemáticas, 2017. Nivel IV).  
El círculo y el rectángulo de la figura (izquierda) tienen el mismo centro. Si las dimensiones del rectángulo son 6 × 12 y los lados pequeños del rectángulo son tangentes al círculo ¿cuál es el área de la región común al rectángulo y al círculo?

2. (XXIV Concurso de Primavera de Matemáticas, 2020. Nivel IV).
Sobre los lados de un triángulo equilátero hemos construido tres cuadrados de áreas 2, 8 y 18 cm2, como se ve en la figura (derecha). Halla el área del triángulo equilátero dibujado en el interior del triángulo original.

Solución:

Geometría (268). Distancias

Foto: Siân Williams. (Manchester, catedral)

Los problemas que siguen se propusieron en la Olimpiada Matemática Aragonesa en distintos años: Problemas OMA (I-XXVII).pdf - Google Drive. Son sencillos y pueden plantearse a alumnos de 1º y 2º de ESO.

Problemas
1. (XVIII OMA, 2009) La siguiente figura (izquierda) es un pentágono regular de lado a, que se corta con un segmento horizontal en los puntos P y Q. ¿Cuál es la distancia de A a P para que el perímetro de las dos partes en que queda dividido el pentágono sea el mismo?

2. (XXVII OMA, 2018) En el interior de un rectángulo, del que se sabe que uno de sus lados mide 6 cm, se apilan seis círculos de igual dimensión tal como se indica en la figura (derecha). Determina la mínima distancia que hay entre los círculos sombreados.

Solución.

Geometría (267). Con regla y compás

Foto: Cristina Martínez García, Lugo.

El problema que se plantea a continuación no es sencillo. Puede ser adecuado para aficionados a la Geometría, y que no se rindan a la primera.
Para resolverlo hay que tener un par de ideas afortunadas; aunque sucede lo que se ha considerado otras veces: cuando has tenido esas ideas el problema se vuelve sencillo.
Una de esas ideas tiene que ver con el arco capaz.

Problema
Construye con regla y compás un triángulo ABC del que se conocen sus lados a = 6 y b = 8 y el ángulo CMB = 70º, siendo M el punto medio del lado AB.

Solución.

Geometría (266). Triangulación (y 12)

Foto: Caty Martínez García, Dublín

Concluyo con este post la discusión de las posibles particiones de un triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles. En este caso, se plante el estudio de todas las posibilidades que pueden darse cuando el triángulo rectángulo es, además, isósceles.
(El estudio completo del problema está disponible en esta web).

Problema
En la figura que sigue, el triángulo rectángulo e isósceles ABC se ha dividido en cuatro triángulos más pequeños, todos isósceles e iguales.
Encuentra otras posibles particiones de ABC en cuatro triángulos isósceles más pequeños. (Hay otras 8 maneras distintas de hacerlo. En 3 de ellas dos de los nuevos vértices, D y F, se encuentra en la hipotenusa; en las otras 5, cada uno de los nuevos vértices está en distinto lado).
· Indica cómo podría dibujarse cada partición utilizando regla y compás.

Solución.

Geometría (265). Áreas

Foto: Carmen Martínez García (Pirineo aragonés)

Los dos problemas que se plantean a continuación proceden de dos de los concursos Matemáticos que organizan en España. El primero se propuso en el Concurso de Primavera de Matemáticas (UCM 2020); el segundo, en la XXVI Olimpiada Matemática de Albacete. Ambos problemas son asequibles a los alumnos de 3º o 4º de ESO.

Problemas
1.º En la figura de la izquierda, determina el cociente entre el área sombreada de color azul y el área de color gris.
2.º En la figura de la derecha, si el lado del cuadrado mide 1, ¿cuánto vale el área de la región sombreada?

Solución.

Geometría (264). Triangulación (11)

Foto: Carmen García Matas (Alcalá de Henares)

En este post, penúltimo de la serie, se trata de estudiar las posibles particiones de un triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles cuando los puntos D, E y F se toman cada uno en un lado del triángulo, situando el vértice singular (2) en el ángulo recto C.
Hay 4 soluciones distintas.
(El estudio completo del problema está disponible en esta web).

Problema
Calcula los valores que puede tomar el ángulo A para que la partición del triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles, tal y como se muestra en la figura que sigue, sea posible. Observa que los ángulos singulares (2) y (4) se sitúan en C (ángulo recto) y E (punto del cateto AC), respectivamente; además, el punto A es vértice de dos de esos triángulos isósceles, de AED y de ADF.
Indica cómo podría dibujarse cada partición utilizando regla y compás.

Solución.

Geometría (263). En un trapecio...

Foto: Caty Martínez García (Hondarribia, Guipúzcoa)

El problema que se plantea a continuación no es difícil. Para su solución hay que conocer dos propiedades usuales en Geometría, el teorema de Pitágoras y que la hipotenusa del triángulo es el diámetro de la circunferencia circunscrita a él. Podía plantearse a estudiantes de 14 o 15 años que sean aficionados a estas cuestiones.

Problema
Un trapecio isósceles de bases 10 y 6 tiene altura 12. Se pide:
a) Utilizando regla y compas, halla todos los puntos P, situados en el eje de simetría del trapecio, que son vértices de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas son los lados del trapecio.
b) Utilizando herramientas algebraicas, halla la distancia de P a cada una de las bases cuando la hipotenusa de esos triángulos rectángulos es uno de los lados oblicuos.

Solución.